[原创]评徐俊杰先生的书

雷明85639720

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对徐俊杰先生
《数学四色问题证明》一书的评论
雷  明
（二○一二年六月七日）
     
    看了徐俊杰先生最近出版的《数学四色猜测证明》一书后，本人有一点不同的看法，想对其进行一点小小的评论。
1、文不对题一
书的名称是《数学四色问题证明》，书的内容主要应该说的是数学中的四色问题，但其书的内容却主要说的是地图的着色问题。严格的说，数学中的四色问题与地理学中的地图四色问是有区别的。
数学中的四色问题是对平面图的顶点着色的问题，猜测是：对于任何平面图最多四种颜色就够用了；而地理学中的地图四色问题则是对地图（地图也是一种平面图，但只是一种所有顶点的度都是3的3—正则平面图，这在徐先生的书中被叫做“三次平面图”，但它并不是任意的平面图）的面的染色问题，猜测是：对于任何地图最多四种颜色也就够用了。数学中的平面图四色问题是在地理学中的地图四色问题的基础上发展而来的，它比地图四色问题所研究的面更大更宽，地理学中的地图四色问题只是数学中的平面图四色问题的一个子集合。
这里还要说明的是“三次平面图”应该指的是最大度是3的平面图，并不是指3—正则的平面图，既然徐先生已说明把“无桥的3—正则平面图”叫做“三次平面图”，所以我们也就认为这里的“三次平面图”就是3—正则的平面图吧。
地图四色问题是从对地图的区域（面）的染色而提出的。对地图这个平面图作对偶图，仍是一个平面图，该平面图的顶点就是地图中的区域（面），对地图中面的染色就相当于对其对偶图（仍是平面图）的顶点着色，这就把一个地理学中的问题变成了一个数学中的问题了。既然书名叫做《数学四色问题证明》就应该是对平面图的顶点着色，而书中却从头至尾一直是在给“三次平面图”的面进行染色，并没有跑出给地图染色的圈子，所以我说它是“文不对题”。叫我说这本书的题目不如叫做《四色问题的数学证明》还要好一些。尽管给地图的面的染色与给其对偶图（仍是平面图）的顶点着色的实质上是相同的，但的确给地图的面的染色研究起来要比给平面图的顶点着色要困难得多。
2、文不对题二
书的名称是《数学四色问题证明》，重点应该在于“证明”二字上，但作者把重点却放在了反复的、对证明四色问题毫毛无意义的对“树的形成”、“三次平面图的形成”、三次平面图面着色中的“面二色回路”和三次平面图边着色中的“边二色回中”的研究上。书中重点研究的这些，对四色猜测的证明也并没有起到任何作用。从这一点上看，这也是文不对题的。从书的实际重点上讲，书名叫做“平面图着色中的二色回路”可能还要名符其实一些。
3、文不对题三
书的名称是《数学四色问题证明》，应该所要研究的是任意的图或任意平面图的着色问题，但书中却只研究了不含桥边的3—正则图（即作者说所的“三次平面图”）在着色中的二色回路问题。这是其文不对题之三。从这个原因上讲书名还不如叫做“三次平面图着色中的二色回路”更好一些。
4、三次平面图不能代替任意的平面图
四色猜测说的是对于任意的平面图，其顶点着色时最多四种颜色就够用了。而书中却一直是在用特殊的“三次平面图”（即3—正则平面图）来代替任意的平面图。认为任意多面的三次平面图都是4—面可着色的，进而推广到任意的平面图也都是4—面可着色的，这是不对的。徐先生从2007年出版的《数学难题探索——费马大定理和四色问题证明》一书至今年出的这本《数学四色问题证明》，一直都是从认为“只要平面三次图的四色问题解决了，任意平面图的四色问题也就解决了”的这一主导思想出发的。
5、猜测的成立是在任意平面图的情况下，是没有条件的
四色猜测说的是任意平面图着色时最多四种颜色就够用了。但徐先生却自已搞出了一个什么“Kempe定理”，说什么“四色问题成立，当且仅当每一个三次平面图都是4—面可着色的”。这本来就是地图四色猜测的原意嘛。地图的确是3—正则的平面图（即徐先生的三次平面图）。地图四色猜测说的是对任何地图的区域进行染色时最多四种颜色也就够用了。这个猜测本来是由英图的绘图员法朗西斯提出来的，Kempe只是第一个宣布证明了猜测是正确的人，作者却硬要把它说成是“Kempe定理”，不知道是为了什么。是不是为了说明你所认为的、并没有严格证明的只要任何一个三次平面图都是4—面可着色的，从而就可以推广到任何平面图也都是4—面可着色的结论找一个理论根据。后边你还用了一个什么“Tait定理”：什么“四色问题成立，当且仅当每一个三次平面图都是3—边着色的”。从数学中的一般语言看，“××命题成立，当且仅当是在××条件下”，这样的常用语，通俗的讲应该是：“只有在××条件下，才有××命题成立”。难道说即就是当每一个三次平面图都是3—边着色的和每一个三次平面图都是4—面可着色的条件下，四色猜测都是对的时，就能说明对于任意的平面图四色猜测都是对的吗。以上两个定理说的是只有在“每一个三次平面图都是3—边着色的”和“每一个三次平面图都是4—面可着色的”两种特殊情况下，四色猜测才是正确的，并没有说是对于任意的平面图四色猜测都是正确的。而徐先生却认为只要证明了三次平面图是3—边着色的和4—面可着色的就可以说明四色猜测是正确的了，这是先生的错误的理解。于是徐先生就得出这样的逻辑：三次平面图是3—边着色的——三次平面图也是4—面可着色的——任意平面图即是4—面可着色的——则四色问题成立。这是什么逻辑嘛。
6、徐先生对猜测证明的方法是错误的
平面图的面着色就等于对其对偶图的顶点着色，三次平面图的对偶图则是一个极大图，其每一个面均是三边形面。如果极大图是可4—着色的，那么其他任何非极大图当然也就是可4—着色的了，因为在相同顶点数的图中，极大图的顶点间的相邻关系是最复杂的，也即其边是最多的。但是徐先生证明三次平面图是4—可面着色的方法却是不能令人满意的。即就是因为三次平面图是3—边着色的，凭这就能说明三次平面图也是4—面可着色的吗，这能推广到任意平面图都是4—可着色的吗。四色问题说的是任意平面图着色的色数都一定不大于4，证明时就应首先是给一个任意的图（并不是具体的图），然后再说明其是否可以可4—着色。然而徐先生却是先给出一个简单的即面数较少的色数是4的三次平面图（其对偶图也就是顶点数较少的极大图），在此基础上，每增加一个面（在对偶图中则是每增加一个顶点）通过对面的颜色交换，总能给该面着上已用过的四种颜色之一（在对偶图中则是直接就可以给该顶点着上不同于与该顶点所相邻的三个顶点的颜色的另一种颜色），这样的无限进行下去，所用颜色数总是不会超过4，所以就认为自已证明了四色猜测是正确的。其实这是不对的，实质上与阿贝尔所谓用电子计算机证明了猜测的做法是相同的，认为只要验正的图的数量很大，就说明是证明了猜测。这种认识是不对的，你验正的图的数量再多，但还是没有、也不可能把所有的图都验证完，仍然只是个别的具体的图进行了验证，猜测也就得不到证明。所以说要想证明猜测，还必须要脱离开具体的图，不能认为只要对某些个别的图进行了可4—着色，就能证明猜测是正确。
真正的解决问题的方法应是：不用具体的图，也不用对任何一个图进行着色，从“图的色数”等于图的“最小顶独立集数”，也等于图的“最小完全同态的顶点数”上入手，得出任意图的“顶独立集数”和“最小完全同态的顶点数”与“图的密度”之间的关系，即图的色数与其密度之间的关系，就可以确定任意图的色数。由于平面图的密度总不会大于4,所以也就把一个对于图的密度来说是一个无穷的问题，变成了一个有穷的问题，把平面图的密度1～4一个个的代入到任意图的色数与图的密度的关系式中，就可以得到任何密度的平面图的色数总不会大于4的结论，这也就证明了四色猜测是正确的。
以下是书中具体的问题：
1、第2 页第四自然段，“（3）任意两个顶点之间只有一个不与其他边相交的相连接的图称为简单图，见图1.1.2。”这好象不是简单图的概念。从你的文字中可以看出，你这个说法应是完全图的概念。为什么，因为你所举例的图1.1.2就是一个完全图K4。
2、第3页第三自然段，对于图的连通度的叙述，概念不清，且文图不符。
3、第8页第二、第三自然段，对于“片”的叙述，也是概念不清，文图不符。
4、第11页——第12页，作者在证明三次平面图G是4—面可着色则G也是3—边着色时说：“M中的加法定义为：a1＋a2＝a3,a1＋a3＝a2,a2 ＋a3＝a1，ai＋ai＝0（i＝1,2,3），其中，a0为单位元素。”这如何理解呢，明明是4种颜色，你怎么只用了3种来“相加”呢，这理的ai＋ai＝0又是什么含义呢，什么是“单位元素”呢。这些你为什么都不把它们一个一个解释楚呢。
三次平面图的各顶点肯定是只连有3条边（因为它本来就是一个3—正则图），同时也只有两两互相相邻的三个面同时相交于该顶点，三个面只能分别着一种颜色，共三种颜色；该顶点所连的三条边因为同时相邻于同一个顶点，所以也只能分别着一种颜色，也是共三种颜色。但这二者之间又有什么联系呢，你却它们硬联系在一起，并且得到“假设图G是4—面可着色的”，“于是，图G是3—边着色的”。这不是太荒唐了吗。一个是边着色，一个是面着色，怎么能硬往一起拉呢。
是的，用你的理论“a1＋a2＝a3,a1＋a3＝a2,a2＋a3＝a1”和“规定一个边的颜色等于关联这个边的两个不同面的颜色之和”，可以对你的图1.4.1进行3—着色，可以做到相邻的面与面，相邻的边与边，相关联的面与边都用了不同的颜色，但这却根本就不是你在这里所要研究的三次平面图的边着色问题，而是一个对图的边和面同时着色的问题。你再不要在这里东扯一下，西扯一下了。
还有，你只是根据图1.4.1中的一个顶点就能得出三次平面图就是3—边着色的吗，即就是三次平面图就是3—边着色的，也不能就这样证明嘛。
图的边着色就是对其边图（也叫线图，即把图的边做新的顶点，把原图中边与边的相邻关系做新的边所得到的新图）的顶点着色，而任意图顶点着色的色数是大于图的密度而又小于图的密度的一倍半的向下取整值。由于三次平面图的边图是一个密度为3（图中的最大团是K3,其顶点数是3）的图，边图中又不可能含有奇轮，所以三次平面图的对偶图一定是3—顶着色的，即其色数是等于其密度3的，那么三次平面图也就一定是3—边着色的。这怎么能与三次平面图是不是4—面可着色的扯到一起去呢。
5、第12页——第13页，作者在证明三次平面图G是3—边着色则G也是4—面可着色时，用了对处于某一条边二色回路内外的面各着不同颜色的办法，把用了对处于两条不同的边二色回路内外的面两次不同颜色的“叠加”后，令A＝ac，B＝bc，C＝ad，D＝bd，正好是四种颜色，然后就得出“假设图G是3—边着色的”，“于是，则图G是4—面可着色的”的这一结论。这又是一个荒唐的结论。如果再用一条二色回路，启不是各面都变成了由三种颜色“叠加”起来的结果了吗，这时还能保证该三次平面图还只是用了四种颜色吗，即就是可以，能不能保证任何一个三次平面图都是这样的呢。
本来这个证明就有问题，可作者在证明后又得到一个什么“推论”：“如果一个三次平面图是4—面可着色的，即也是3—边着色的”，这不就是上面证明三次平面图G是4—面可着色则G也是3—边着色的结论吗。循环来，循环去，整整的转了一圈，也不知你道底要说什么。接着又继续说：“可以把面着色和边着色的关系设定为：
            A＋D＝1,   B＋D＝2,   C＋D＝3
A＋B＝3,   A＋C＝2,   B＋C＝1
并举例说明了这些在图1.3.3中的情形。看一看，作者在这里显然是把“面着色”、“边着色”、“边和面同时着色”三者混为一谈了。这三者是不同的三回事，并不是一回事。
6、第3页中说“两个对称的图是不相同的”，如“图1.1.5和图1.1.7是对称的”；而在第15页中却把对称的图2.1.8和图2.1.9以及图2.1.11和图2.1.13等却说成是相同的了，同时在说明第16页的图2.1.15至图2.1.26时，也存在这种现象。
以上这些不成熟的意见，希望徐俊杰先生采纳，能从中悟出一点启发来。无论怎么样，可以看出徐先生是一个真正的在研究问题的人，他做了大量的工作，对三次平面图的“面着色”中的“面二色回路”和“边着色”中的“边二色回路”研究到了惊人的程度，与许寿椿教授的《图说四色问题》一书中图顶点着色中的“二色子图”很有一品，二位关于“二色回路”与“二色子图”的研究，对在研究图的着色中的一些具体的性质起到了一个模范带头作用。

                                  雷  明
二○一二年六月七日于长安
注：该文已于二○一二年六月十八日发至徐俊杰先生的电子信箱，并于六月二十三日发表在《数学中国》网上。

雷明85639720

要证明四色猜测的成立，首先必须是从任意的平面图去入手，而不应只从证明了某些个别图对于四色猜测成立，就想得出对于任意平面图四色猜测都成立的结论。“任意”二字非常重要，也是个关键。

雷明85639720

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