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F16

最近看到欧拉的《微分学》中的一些文字，有几个地方始终没有弄懂。
文字是这样的：“...确实，任何两个零在这样的意义上相等，即它们之差为零，然而却有两种比较方法，一种是算术的，另一种是几何的，所以让我们来看一看它们之间的区别（根据被比较量的来源）：任意两个零的算术比相等，但几何比却并非如此。这一点最好是通过几何比例2：1=0：0来解释，其中第四项及第三项都=0，按照比例性质，如果第一项是第二项的二倍，那么第三项也将是第四项的二倍。...”
       疑问的关键在于几何比例“2：1=0：0”，我翻阅了《几何原本》，它对比例的定义是这样的“设a,b是同类的两个量，c,d也是同类的两个量，对任意的整数m与n，若三个关系式ma>nb,ma=nb,ma<nb中之一成立时，必有三个关系式mc>nd,mc=nd,mc<nd中相应的一个成立。则说a比b与c比d有相同的比”但是2：1=0：0并不满足这一条件，那为什么可以画等号呢？
      还有，“算术比”和“几何比”是怎样定义的？
      谢谢了！

luyuanhong

我没有看过欧拉的《微分学》，不知道“算术比”、“几何比”是怎样定义的。
不过，我看了上面楼主的一段引文后，猜想欧拉要说的意思是这样的：
如果两个数 a,b ，满足 a-b＝0 ，就说这两个数“在算术的意义上”是相等的；
如果两个数 a,b ，满足 a:b＝1:1 ，就说这两个数“在几何的意义上”是相等的。
当我们取 a＝0 , b＝0 时，
因为 a-b＝0-0＝0 ，所以，可以说任何两个 0 “在算术的意义上”都是相等的；
但是，因为可以成立等式 a:b＝0:0＝2:1，所以，两个 0 “在几何的意义上”并不一定相等。
为什么可以成立“0:0＝2:1”？
我猜想，欧拉是根据这样的定义得出的: “如果有 ad＝bc ，就可以认为有 a:b＝c:d”。
因为有 0×1＝0×2 ，所以成立 0:0＝2:1 。
如果要严格按照《几何原本》中比例的定义，那就不能认为 0:0＝2:1 了。
  

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wangyangke

“蠢货”（ygq的马甲）你，为什么到现在仍然还是“蠢货” ？？？
“无知者无畏”式的“蠢货”（ygq的马甲 ）
“蠢货”（ygq的马甲 ）你，“意淫”很开心吗？？？“意淫”很生猛吧？？？
少“添乱”就是多作“贡献”啦。网络时代的“蠢货”还特别多，唉，……
人“蠢”就安静些嘛，没有人硬要“蠢货”（ygq的马甲 ）你出来的.