方程 (x-2)^2=2^(x-2) 有多少个实根？

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

方程式 (x-2)^2=2^(x-2) 有多少個實根?

ans:3

luyucheng1

问题解答。

luyuanhong

谢谢楼上 luyucheng1 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

moranhuishou

可以看出来的是，方程除了

2^2=2^2  （x=4）
与
2^4=4^2(x=6)
两个实解之外，没有别的。

所以对于luyucheng1先生的解法实在看不懂。

moranhuishou

本题目等价于
方程式
x^2=2^x
有多少个实数根？

luyucheng1

问题解答。

这道题关键要寻找2—无穷大之间有几个解。图形不够规范，只是表达意义。

原题解中，数值计算用2，在解区间写成1，属于笔误，在此更正。

moranhuishou

也许出题者是要求这样解的，但题方程只有一个未知数x,本身并未涉及y,不知何来平面图形？
我们仅按题目解
设
x-2=u,
u^2=2^u

应该仅有
u=+-2^(u/2)
u只能为正，所以只有
u1=2,u2=4.
即x=4,6.

luyucheng1

左右看着是两个函数，其交点就是相等值，也就是方程的解。
一般图解法都是如此，这种方法在工程中有广泛应用。

上面求方程的解得个数，还是用数学分析的方法。
找出函数变化区间。首先函数数值的变化区间和个极值点个数（此处是分析一阶导数与二次曲线类似，数值分布在x轴两侧，一个极值点，有2解），在看曲线变化是否依此处于x轴2侧。本题的曲线符合3次函数特征，根据数值变化与极值点情况，确定有3个解。

luyuanhong

方程 x^2=2^x 除了 x=2 ，x=4 以外，还有一个实数根 x= -0.766664695962… 。

验证：

(-0.766664695962…)^2 = 0.5877747559… ，

2^(-0.766664695962…) = 0.5877747559… 。

moranhuishou

这就好理解了。