已知 2^8+2^11+2^n 为完全平方数，求自然数 n 的值

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

2^8+2^11+2^n 為完全平方數，求自然數 n

luyuanhong

题  已知 2^8 + 2^11 + 2^n 为完全平方数，求自然数 n 的值。

解  设 n = 2k ，考虑完全平方数

(2^4+2^k)^2 = 2^8 + 2×2^4×2^k + 2^(2k) = 2^8 + 2^(5+k) + 2^n 。

与  2^8 + 2^11 + 2^n  相对比，应该有 5+k = 11 ，即有 k = 6 ，

所以 n = 2k = 12 。

验证 2^8 + 2^11 + 2^12 = 256 + 2048 + 4096 = 6400 = 80^2 。