abcdefghi 是由 1～9 组成的无重复数字的九位数，前 k 位是 k 的倍数，求这九位数

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

abcdefghi 是個九位數 由 1~9 組成但數字不重複

a是1的倍數

ab是2的倍數

abc是3的倍數

abcd是4的倍數

abcde是5的倍數

abcdef是6的倍數

abcdefg是7的倍數

abcdefgh是8的倍數

abcdefghi是9的倍數

請問這九位數是多少呢 ?

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子，可供参考：

题  用 1，2，3，4，5，6 组成一个六位数，要求 AB 是 2 的倍数，ABC 是 3 的

倍数，ABCD 是 4 的倍数，ABCDE 是 5 的倍数，ABCDEF 是 6 的倍数，那么这样的

六位数有多少个？

解 因为要求 AB,ABCD,ABCDEF 是偶数的倍数，所以 B,D,F 都必须是偶数，剩下三个

数 A,C,E 必须是奇数。因为 ABCDE 是 5 的倍数，所以 E 必须是 5 ，这样 A,C 就

必定是 1 和 3 。又因为 ABC 是 3 的倍数，所以 A+B+C 必须是 3 的倍数，去掉其中

A+C=1+3=4 后，剩下的 B 必须是 3 的倍数加 2 。B=4 或 B=6 都不符合要求，只能是

B=2 。剩下的偶数只有 4,6 。因为 ABCD 是 4 的倍数，如果 D=4 ,这时 CD 只能是

14 或 34 ，但以 14 或 34 作末尾的数都不可能是 4 的倍数，所以只有 D=6 。剩下

一个偶数必然是 F=4 。

    所以，符合要求的六位数只有 2 个，即 123654 和 321654 。

luyuanhong

题 abcdefghi 是由 1～9 组成的无重复数字的九位数，前 k 位是 k 的倍数，求这九位数。

解  因为 ab,abcd,abcdef,abcdefgh 都是偶数的倍数，所以 b,d,f,h 都必定是偶数。

    其余 5 个数字 a,c,e,g.i 都必定是奇数。因为 abcde 是 5 的倍数，所以 e 必定是 5 。

    因为 abc,abcdef,abcdefghi 都是 3 的倍数，所以它们的各位数字之和也是 3 的倍数。

    将它们 3 位 3 位拆开来，可知 abc,def,fgh 的各位数字之和分别都是是 3 的倍数。

    因为 abcd 是 4 的倍数，所以 cd 必定是 4 的倍数，考虑到 c 是奇数，cd 只可能是

    12，32，72，92，16，36，76，96 。

    因为 abcdefgh 是 8 的倍数，所以 efg 必定是 8 的倍数，考虑到 e 是偶数，f 是奇数，

    fg 只可能是 32，72，16，96 。

    综合考虑以上列出的各项条件，只有下列 7 种情况：

    147258963，183654729，189654723，381654729，741258963，981654327，987654321。

    再考虑 abcdefg 是 7 的倍数这一条件，在上述 7 种情况中，唯一符合要求的只有：

                          381654729 。

    所以，本题要求的九位数就是 381654729 。