怎样用物理意义证明算术-几何平均不等式 (a+b)/2≥√(ab) ？

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

我以前看過一篇物理文章講述 (a+b)/2 >= 根號(ab) 用物理的意義說明大概是這樣:

請問假設用一個不等臂的天平，秤重，把物體放在左邊秤得a克`,放在右邊，秤到 b克， 可以得

.....物體的....重量是 根號 ab(利用力距力臂的概念),  (a+b)/2 是物體的平均重量，

所以 算幾不等式成立。

請問這個完整的說明是甚麼?

luyuanhong

我在网上搜寻了一下，看到关于这一问题的叙述都是这样的：

在一架不等臂天平上称量一个物体。将物体放在天平左盘，称得重量为 a ，

将物体放在天平右盘，称得重量为 b 。根据杠杆原理，可以计算出物体的

真实重量是 √(ab) 。

然后用数学方法（不是用物理方法）直接证明不等式 (a+b)/2≥ √(ab) 。

再由这个不等式说明：如果将两次称得的物体重量作算术平均，得到的平均值

(a+b)/2 必定大于等于物体的真实重量 √(ab) 。