用曲面上的拓扑不变量——欧拉示性数来证明四色猜测

雷明85639720

用曲面上的拓扑不变量——欧拉示性数来证明四色猜测
雷  明
（二○一八年六月二十六日）

1、多阶曲面上的拓扑不变量——欧拉示性数
拓扑学中所说的网络实际上说是图论中所说的图。网络和图都是由顶点（线与线的交叉点）、线（即边，是顶点间的连线）和由顶点—线（边）—顶点—线（边）构成的闭合序列所围成的部分——面三者构成的。不同的一点就是在网络中以上三元素——点、线、面三者必须都有，缺一不可；而图中却可以没有线（边），如完全图K1就只能是图，而不是网络。为了研究叙述的方便，以下我们只说图，而不再说网络。
可嵌入任何一个曲面上的图，必须是除了在顶点以外，其他任何地方再没有边与边相交叉的图。把顶点数用V表示，线数用E表示，面数（包括图的外部面在内）用F表示，则对于任何一种曲面上的图，不管有多少个顶点，多少条边，多少个面，而V＋F－E的值是不变的，这就是拓扑学中的拓扑不变量。拓扑学中的拓扑不变量有很多，V＋F－E只是其中的一种。
在一个顶点数是V，线数是E和面数是F的图中，若再增加一个顶点，且该顶点如果是处在一个面的内部，它至少要与一个顶点相邻，才能构成网络。增加的这个顶点若与n个顶点相邻，图中就增加了n条边和n－1个面，这时V＋F－E＝（V＋1）＋（F＋n－1）－（E＋n）＝V＋F－E，拓扑不变量没有变；若增加的顶点是处在某条边上，这时则至少增加了一条边（该顶点把原来的边分成了两部分，即两条边），该顶点若再与别的顶点相邻时，每与一个顶点相邻，就会增加一条边和一个面，若与n个顶点相邻，则V＋F－E＝（V＋1）＋（F＋n）－（E＋1＋n）＝V＋F－E，拓扑不变量仍没有变化；若在该图中增加边时，则每增加一条边图中也就增加一个面，顶点不会发生变化，若增加的边数是n条，则V＋F－E＝V＋（F＋n）－（E＋n）＝V＋F－E，该拓扑不变量仍不变。
这就证明了曲面上图的拓扑不变量（也即是图的拓扑性质）的不变性是真实的。无论曲面上图的顶点、边、面是多少，V＋F－E的值总是不会改变的，这也就是拓扑不变量术语的真实含意。拓扑论中把V＋F－E这个拓扑不变量叫做曲面的欧拉示性数。若把欧拉示性数用Ｋ表示，把曲面的亏格（球面上所接环柄的数量或穿过球体的洞数）用N表示时，在拓扑学中已经证明了可定向曲面中有K＝2（1－N）的关系。当曲面是亏格n等于0的平面或球面时，K＝2，则有V＋F－E＝2，这一关系最早是欧拉发现的，所以大家也就把这个关系式叫欧拉公式，即平面（或球面）图的欧拉公式。当然, V＋F－E＝2（1－N）也就是多阶曲面上图的欧拉公式了。
2、多阶曲面上的地图着色公式——赫渥特公式
完全图Kn中两两顶点间都是相邻的，所以完全图Kn的着色数γ只能与其顶点数n相同。由于V＋F－E＝2（1－N）是拓扑不变量，所以在一个亏格是N的曲面上的色数是γ的图G中，去掉一个顶点和与该顶点所有相关联的边后，如果所得到的图的色数不减少，则就可以用顶点数更少的图来代替G，继续这样做下去，一定可以得到一个色数仍是γ，而顶点数V＝γ的完全图G*；若再继续做下去，去掉一个顶点和与其相关联的边后，图虽仍然是一个完全图，但完全图的顶点数就减少了，该完全图的色数也就比原图G的色数γ减少了。若把完全图G*的顶点数、边数、面数分别用V、E、F表示，则仍应有V＋F－E＝2（1－N）的关系。这就是应用拓扑不变量研究问题的好处，不管图中的顶点、边和面数如何变化，V＋F－E＝2（1－N）的关系都是不会改变的。
由于完全图G*中各顶点所联接的边数都等于γ－1条，所在完全图的边数是E＝V（γ－1）/2条，即有2E＝V（γ－1）。已知对任意的图都有3F≤2E，即有F≤2E/3。把F≤2E/3代入V＋F－E＝2（1－N）中得2E≤6V－12（1－N）。又由于2E＝V（γ－1），所以又有V（γ－1）≤6V－12（1－N），即（γ－1）≤（6V－12（1－N））/V。因为这里研究的是一个完全图G*，G*中有V＝γ,所以也有（γ－1）≤（6γ－12（1－N））/γ或（V－1）≤（6V－12（1－N））/V，整理后又可分别得到一元二次不等式γ2－7γ＋12（1－N）≤0或V2－7V＋12（1－N）≤0，解这两个不等式得正根分别是：γ≤（7＋√（49＋48（1－N）））/2和V≤（7＋√（49＋48（1－N）））/2。因为顶点数与色数都是整数，所以还得向下取整，得：γ≤＜（7＋√（49＋48（1－N）））/2＞和V≤＜（7＋√（49＋48（1－N）））/2＞。这里用＜　＞表示其中的数向下取整。
γ＝＜（7＋√（49＋48（1－N）））/2＞是V≥γ时的色数，当V＜γ时，上面已经说了，其色数一定是小于γ的，所以γ≤＜（7＋√（49＋48（1－N）））/2＞就是亏格为N的可定向曲面上图的色数。这就是赫渥特的多阶曲面上的地图着色公式。而V≤＜(7＋√（49＋48（1－N））)/2＞则是该亏格为N的可定向曲面上图中的各种团的顶点数，或者也可以说是可嵌入该曲面上的完全图的顶点数。
3、赫渥特地图着色公式的另一种获得方法
先把F≤2E/3代入多阶曲面上图的欧拉公式V＋F－E＝2（1－N）得E≤3V－6（1－N），再把完全图的边数E＝V（V－1）/2代入得一元二次不等式V2－7V＋12（1－N）≤0，解之得正根是V≤＜（7＋√（49＋48（1－N）））/2＞，上面已经说了，这就是某亏格曲面上图中各种团的顶点数或可嵌入该曲面上的完全图的顶点数，而完全图的色数与顶点数是相同的，所以把这里的V改写成γ时，则γ≤＜（7＋√（49＋48（1－N）））/2＞就是多阶曲面上的图的色数。这与上面2中的赫渥特多阶曲面上的地图着色公式是一模一样的。
4、四色猜测的证明
把平面图的亏格N＝0代入赫渥特多阶曲面上的地图着色公式，得γ≤4，这就是四色猜测。所以四色猜测是正确的。对一个色数是4的平面图，即该平面图中一定有一个K4团，按照上面2中的方法，把非K4团中的顶点都去掉后，就只剩下一个K4完全图了，其色数仍是4；若再继续减少顶点，则是可得到完全图K3、K2和K1，它们的色数都是小于4的。这也证明了四色猜测是正确的。


雷  明
二○一八年六月二十七日于长安

    注：

雷明85639720

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雷明85639720

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任在深

哈哈！
       快要入门了？
       但还是差的很多！？

雷明85639720

别人都不行，就你的单位论最好，可你多少年了连一篇象样的文章也拿不出来，再别在这里卖嘴了。