【与elim老师讨论专帖】【“降次之路”！】【辗转降次消元术…… 】

风花飘飘

方程 (5*u-5*r)*v^4+(-10*u^2+10*r^2)*v^3+(10*u^3-10*r^3)*v^2+(5*r^4-5*u^4)*v+5*t*u^4-10*t^2*u^3+10*t^3*u^2-5*t^4*u+5*s*t^4-10*s^2*t^3+10*s^3*t^2-5*s^4*t+5*r*s^4-10*r^2*s^3+10*r^3*s^2-5*r^4*s-10=0 的解为 v  
解 1

v = (u+r)/2-sqrt(-2*sqrt((u^5+(-4*t-r)*u^4+(8*t^2+2*r^2)*u^3+(-8*t^3-2*r^3)*u^2+(4*t^4+r^4)*u-4*s*t^4+8*s^2*t^3-8*s^3*t^2+4*s^4*t-4*r*s^4+8*r^2*s^3-8*r^3*s^2+4*r^4*s-r^5+8)/(u-r))-u^2+2*r*u-r^2)/2   

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解 2

v = sqrt(-2*sqrt((u^5+(-4*t-r)*u^4+(8*t^2+2*r^2)*u^3+(-8*t^3-2*r^3)*u^2+(4*t^4+r^4)*u-4*s*t^4+8*s^2*t^3-8*s^3*t^2+4*s^4*t-4*r*s^4+8*r^2*s^3-8*r^3*s^2+4*r^4*s-r^5+8)/(u-r))-u^2+2*r*u-r^2)/2+(u+r)/2   

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解 3

v = (u+r)/2-sqrt(2*sqrt((u^5+(-4*t-r)*u^4+(8*t^2+2*r^2)*u^3+(-8*t^3-2*r^3)*u^2+(4*t^4+r^4)*u-4*s*t^4+8*s^2*t^3-8*s^3*t^2+4*s^4*t-4*r*s^4+8*r^2*s^3-8*r^3*s^2+4*r^4*s-r^5+8)/(u-r))-u^2+2*r*u-r^2)/2   

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解 4

v = sqrt(2*sqrt((u^5+(-4*t-r)*u^4+(8*t^2+2*r^2)*u^3+(-8*t^3-2*r^3)*u^2+(4*t^4+r^4)*u-4*s*t^4+8*s^2*t^3-8*s^3*t^2+4*s^4*t-4*r*s^4+8*r^2*s^3-8*r^3*s^2+4*r^4*s-r^5+8)/(u-r))-u^2+2*r*u-r^2)/2+(u+r)/2   

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风花飘飘

解：X^5-5X-2=0
分析：
因为这是一个缺4次项的方程，假设，方程的5个根为：a、b、c、d、e，则有，a+b+c+d+e=0，我这里就用a+b+c+d=-e来解这个方程：

解方程组：
a*b+a*c+a*d+b*c+b*d+c*d-(a+b+c+d)^2=0,
a*b*c+a*b*d+a*c*d+b*c*d-(a*b+a*c+a*d+b*c+b*d+c*d)*(a+b+c+d)=0,
a*b*c*d-(a*b*c+a*b*d+a*c*d+b*c*d)*(a+b+c+d)=-5,
a*b*c*d*(a+b+c+d)=2
的解为 a,b,c,d









解：X^5+AX^4+BX^3+CX^2+DX+E=0
《一》分析：
对于一个缺4次项（A=0）的方程，假设方程的5个根为：a、b、c、d、e，则有，a+b+c+d+e=0=A，我这里就用a+b+c+d=-e来解这个方程：
我们不妨这样“来设”，令a=r-s；b=s-t；c=t-u；d=u-v；e=v-r。
解方程组：
A= a+b+c+d+e=0
B=a*b+a*c+a*d+b*c+b*d+c*d-(a+b+c+d)^2
C=a*b*c+a*b*d+a*c*d+b*c*d-(a*b+a*c+a*d+b*c+b*d+c*d)*(a+b+c+d)
D=a*b*c*d-(a*b*c+a*b*d+a*c*d+b*c*d)*(a+b+c+d)
E=-a*b*c*d*(a+b+c+d)
的解为 a,b,c,d
《二》将“来设”代入整理得：
A=a+b+c+d+e=0
B=-v^2+(u+r)*v-u^2+t*u-t^2+s*t-s^2+r*s-r^2
C=(u-r)*v^2+(r^2-u^2)*v+t*u^2+(-t^2-1)*u+s*t^2+(1-s^2)*t+r*s^2-r^2*s
D=((r-t)*u+t^2-s*t+s^2-r*s)*v^2+((t-r)*u^2+(-t^2+(s+r)*t-s^2+r*s-r^2-1)*u-r*t^2+(r*s+1)*t-r*s^2+r^2*s)*v+(-s*t+s^2-r*s+r^2)*u^2+(s*t^2+(-s^2+r*s-r^2)*t+r)*u+(r^2-r*s)*t^2+(r*s^2-r^2*s-r)*t
E=a*b*c*d*e=(((s-r)*t-s^2+r*s)*u+(r-s)*t^2+(s^2-r*s)*t)*v^2+(((r-s)*t+s^2-r*s)*u^2+((s-r)*t^2+(r^2-s^2)*t+r*s^2-r^2*s)*u+(r*s-r^2)*t^2+(r^2*s-r*s^2)*t)*v+((r*s-r^2)*t-r*s^2+r^2*s)*u^2+((r^2-r*s)*t^2+(r*s^2-r^2*s)*t)*u
《三》让我们再来回顾一下这个一般性质：

《四》下面把求解方程的系数A、B、C、D、E变为“贤文矩阵”形式
















方程 5*m*n^4-10*m^3*n^2+m^5-5*m-2=0,(n^5-10*m^2*n^3+5*m^4*n-5*n)*((-1)^(1/2))=0 的解为 m,n




































【解高次方程的“降次之路”！】【四元、五元、天元辗转降次消元术…… 】


缺4次项方程：x^5+a*x^3+b*x^2+c*x+d=0---------(0)  的5个根，其必和等于0。
不妨设为：x1=r-s;  x2=s-t;  x3=t-u;  x4=u-v;  x5=v-r

表达式1：
(x-r+s)*(x-s+t)*(x-t+u)= x^3+(u-r)*x^2+((t-r)*u-t^2+s*t-s^2+r*s)*x+((s-r)*t-s^2+r*s)*u+(r-s)*t^2+(s^2-r*s)*t

x3+(u−r)x2+((t−r)u−t2+st−s2+rs)x+((s−r)t−s2+rs)u+(r−s)t2+(s2−rs)t



表达式2：
(x-u+v)*(x-v+r) = x^2+(r-u)*x-v^2+(u+r)*v-r*u

x2+(r−u)x−v2+(u+r)v−ru
     

表达式2乘以表达式1：（即缺4次项方程x^5+a*x^3+b*x^2+c*x+d=0的表达式为：）
(x^2+(r-u)*x-v^2+(u+r)*v-r*u)*(x^3+(u-r)*x^2+((t-r)*u-t^2+s*t-s^2+r*s)*x+((s-r)*t-s^2+r*s)*u+(r-s)*t^2+(s^2-r*s)*t) = x^5+(-v^2+(u+r)*v-u^2+t*u-t^2+s*t-s^2+r*s-r^2)*x^3+((r-u)*v^2+(u^2-r^2)*v-t*u^2+t^2*u-s*t^2+s^2*t-r*s^2+r^2*s)*x^2+(((r-t)*u+t^2-s*t+s^2-r*s)*v^2+((t-r)*u^2+(-t^2+(s+r)*t-s^2+r*s-r^2)*u-r*t^2+r*s*t-r*s^2+r^2*s)*v+(-s*t+s^2-r*s+r^2)*u^2+(s*t^2+(-s^2+r*s-r^2)*t)*u+(r^2-r*s)*t^2+(r*s^2-r^2*s)*t)*x+(((r-s)*t+s^2-r*s)*u+(s-r)*t^2+(r*s-s^2)*t)*v^2+(((s-r)*t-s^2+r*s)*u^2+((r-s)*t^2+(s^2-r^2)*t-r*s^2+r^2*s)*u+(r^2-r*s)*t^2+(r*s^2-r^2*s)*t)*v+((r^2-r*s)*t+r*s^2-r^2*s)*u^2+((r*s-r^2)*t^2+(r^2*s-r*s^2)*t)*u


x5+(−v2+(u+r)v−u2+tu−t2+st−s2+rs−r2)x3+((r−u)v2+(u2−r2)v−tu2+t2u−st2+s2t−rs2+r2s)x2+(((r−t)u+t2−st+s2−rs)v2+((t−r)u2+(−t2+(s+r)t−s2+rs−r2)u−rt2+rst−rs2+r2s)v+(−st+s2−rs+r2)u2+(st2+(−s2+rs−r2)t)u+(r2−rs)t2+(rs2−r2s)t)x+(((r−s)t+s2−rs)u+(s−r)t2+(rs−s2)t)v2+(((s−r)t−s2+rs)u2+((r−s)t2+(s2−r2)t−rs2+r2s)u+(r2−rs)t2+(rs2−r2s)t)v+((r2−rs)t+rs2−r2s)u2+((rs−r2)t2+(r2s−rs2)t)u


以上无误！
继续演绎…………
对于缺4次项方程：
令：y1=x-x1;  y2=x-x2;  y3=x-x3;  y4=x-x4;  y5=x-x5---------(0.1)
将(0.1)分别代入(0),分别得到关于yi的(i=1,2,3,4,5)共5个方程：
毫无疑问，yi是 (i=1,2,3,4,5)等于0滴！
所以，这5个方程的常数表达式必须是等于0滴！
即：
-s^5+5*r*s^4+(-10*r^2-a)*s^3+(10*r^3+3*a*r+b)*s^2+(-5*r^4-3*a*r^2-2*b*r-c)*s+r^5+a*r^3+b*r^2+c*r+d =0--------------(1)
-t^5+5*s*t^4+(-10*s^2-a)*t^3+(10*s^3+3*a*s+b)*t^2+(-5*s^4-3*a*s^2-2*b*s-c)*t+s^5+a*s^3+b*s^2+c*s+d=0-------------(2)
-u^5+5*t*u^4+(-10*t^2-a)*u^3+(10*t^3+3*a*t+b)*u^2+(-5*t^4-3*a*t^2-2*b*t-c)*u+t^5+a*t^3+b*t^2+c*t+d=0----------------(3)
-v^5+5*u*v^4+(-10*u^2-a)*v^3+(10*u^3+3*a*u+b)*v^2+(-5*u^4-3*a*u^2-2*b*u-c)*v+u^5+a*u^3+b*u^2+c*u+d=0---------------(4)
+v^5-5*r*v^4+(10*r^2+a)*v^3+(-10*r^3-3*a*r+b)*v^2+(5*r^4+3*a*r^2-2*b*r+c)*v-r^5-a*r^3+b*r^2-c*r+d=0-------------------------(5)        
































【【以a=0;b=0,c=-5;d=-2为例推导：：：：】】

-s^5+5*r*s^4+(-10*r^2)*s^3+(10*r^3)*s^2+(-5*r^4+5)*s+r^5-5*r-2=0-------------(1)
-t^5+5*s*t^4+(-10*s^2)*t^3+(10*s^3)*t^2+(-5*s^4+5)*t+s^5-5*s-2=0-------------(2)
-u^5+5*t*u^4+(-10*t^2)*u^3+(10*t^3)*u^2+(-5*t^4+5)*u+t^5-5*t-2=0--------------(3)
-v^5+5*u*v^4+(-10*u^2)*v^3+(10*u^3)*v^2+(-5*u^4+5)*v+u^5-5*u-2=0-------------(4)
+v^5-5*r*v^4+(10*r^2)*v^3+(-10*r^3)*v^2+(5*r^4-5)*v-r^5+5*r-2=0-------------(5)  

联立（4）（5）得（6）：
(5*u-5*r)*v^4+(-10*u^2+10*r^2)*v^3+(10*u^3-10*r^3)*v^2+(5*r^4-5*u^4)*v+u^5-5*u-r^5+5*r-4=0-------------（6）
联立（6）（3）得（7）：
(5*u-5*r)*v^4+(-10*u^2+10*r^2)*v^3+(10*u^3-10*r^3)*v^2+(5*r^4-5*u^4)*v+5*t*u^4-10*t^2*u^3+10*t^3*u^2-5*t^4*u+t^5-5*t-r^5+5*r-6=0---------------（7）
联立（7）（2）得（8）：
(5*u-5*r)*v^4+(-10*u^2+10*r^2)*v^3+(10*u^3-10*r^3)*v^2+(5*r^4-5*u^4)*v+5*t*u^4-10*t^2*u^3+10*t^3*u^2-5*t^4*u+5*s*t^4-10*s^2*t^3+10*s^3*t^2-5*s^4*t+s^5-5*s-r^5+5*r-8=0------------------（8）
联立（8）(1)得（9）：
(5*u-5*r)*v^4+(-10*u^2+10*r^2)*v^3+(10*u^3-10*r^3)*v^2+(5*r^4-5*u^4)*v+5*t*u^4-10*t^2*u^3+10*t^3*u^2-5*t^4*u+5*s*t^4-10*s^2*t^3+10*s^3*t^2-5*s^4*t+5*r*s^4-10*r^2*s^3+10*r^3*s^2-5*r^4*s-10=0---------（9）


解（9）得：

（待续……）