在 ΔABC 中，试证 [cot(A/2)]^3+[cot(B/2)]^3+[cot(C/2)]^3≥9√3

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

luyuanhong

kanyikan

根据三角恒等式sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)=r/(4R)、cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)=(a+b+c)/(8R)，
cot(A/2)^3+cot(B/2)^3+cot(C/2)^3
>=3cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)     (△ABC为正三角形时等号成立)
=(3/2)(a+b+c)/r
=3(a+b+c)^2/S
=3√(a+b+c)^3/√((-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c))
>=3√(a+b+c)^3/√((-a+b+c+a-b+c+a+b-c)/3)^3   (△ABC为正三角形时等号成立)
=9√3