从 1,2,3,4,5 中取 5 个数字相乘，数字可重复，问：乘积为 10 的倍数的取法有几种？

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

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题  从 1,2,3,4,5 这 5 类数字中，取 5 个数字相乘，数字可以有重复。

    问：乘积为 10 的倍数的取法有几种？

解  我们知道，一般来说，从 m 类物体中，取 n 个物体作可以有重复的组合，

不同的组合种数为 C(m+n-1,n) 。

    现在从 5 类数字中，任意取 5 个，数字可以有重复，不同的取法总数为

                          C(5+5-1,5)=C(9,5) 。

    要取出数字乘积是 10 的倍数，取出数字中不能没有偶数，也不能没有 5 。

    所以，首先要从取法总数中减去“没有偶数”的取法数。

    “没有偶数”，就是只能从 1,3,5 这 3 类数字中可以有重复地取 5 个，

不同的取法数为

                       C(3+5-1,5)=C(7,5) 。

    其次，要从取法总数中减去“没有 5”的取法数。

    “没有 5”，就是只能从 1,2,3,4 这 4 类数字中可以有重复地取 5 个，

不同的取法数为

                       C(4+5-1,5)=C(8,5) 。

    但是，上面这样减，将“既没有偶数又没有 5”的取法数，重复多减了一次，

所以还要补上。

    “既没有偶数又没有 5”，就是只能从 1,3 这 2 类数字中可以有重复地取

5 个，不同的取法数为

                       C(2+5-1,5)=C(6,5) 。

      所以，由上面的分析可知，乘积为 10 的倍数的不同的取法数为

                   C(9,5)-C(7,5)-C(8,5)+C(6,5)

                     = 126 - 21 - 56 + 6 = 55 。

luyuanhong

不取 2,5 ，取 4,5 也可以。还有 2,4,5 都可以不止取一个，要分别讨论，也很复杂。