勾股公式小题

ysr

设三角形ABC的边长为：X，Y，Z，X=2ab，Y=a^2-b^2,Z=a^2+b^2,X≠Y,设Z=1，a>b,试证√X，√Y与√Z没有相同的有理化因子。

ysr

没有人能做？哈哈！也难怪，这已经是有点难度的题，除了教授和本坛少有的几位高手大概无人会做。
      我不才，做个粗略的证明，请朋友指点：

我们已知道这样的结论（见陆教授的证明，我会顶起来）：
     设a>b>0,且a,b均为实数,若a^2-b^2=2ab,则须a=(1+√2)b,
若a^2-b^2>2ab,则须a>(1+√2)b,
若a^2-b^2<2ab,则须a<(1+√2)b,
由于Z=a^2+b^2=1,若a^2-b^2=2ab,则2ab=√2/2,由于a=(1+√2)b,则2ab=2(1+√2)b^2=√2/2,
所以b=√(2-√2)/2,而a=(1+√2)b=(1+√2)√(2-√2)/2,
由于X≠Y,故b≠√(2-√2)/2,而a≠(1+√2)√(2-√2)/2,
我们要证明的是√X，√Y与√Z没有相同的有理化因子，而不是X，Y，Z没有相同的有理化因子。一般的若X，Y有相同的有理化因子√m,m^(1/3),m^(1/4),……，√X，√Y有相同的有理化因子m*√m,m*m^(1/3),m*m^(1/4),……故只要考虑X，Y没有相同的有理化因子就可以。
设a=(1+√2)sb,b=t√(2-√2)/2,s≠t≠1,由于a^2-b^2>2ab时,s>1还要求s的最大值,比较繁,a^2-b^2与2ab为两直角边,哪个大无所谓,是对称变化的,所以只考虑a^2-b^2<2ab的情况,若st>1,则2ab=√2st/2>√2/2,且使a^2-b^2<√2/2,符合勾股定理,符合题意,所以设1/(1+√2)<s<1,1<t<=2/√(2-√2),
   这样仍然符合勾股定理,
a^2-b^2=((1+√2)^2*s^2-1)b^2=((3+2√2)*s^2-1)(2-√2)t^2/4,
2ab=√2st/2,
  只要√2st/2，与((3+2√2)*s^2-1)(2-√2)t^2/4无相同的有理化因子就可，当s与t互为倒数，st=1则2ab=√2/2=a^2-b^2，与题设矛盾。st≠1。
当s与t为有理数时，√2st/2，与((3+2√2)*s^2-1)(2-√2)t^2/4无相同的有理化因子。
当s与t互为有理化因子，则2ab=√2st/2的有理化因子为√2，与((3+2√2)*s^2-1)(2-√2)t^2/4无相同的有理化因子。
当s与t至少1个为无理数时，√2st/2，与((3+2√2)*s^2-1)(2-√2)t^2/4无相同的有理化因子。
而当2ab=√2/2=a^2-b^2时，与Z=1=a^2+b^2没有相同的有理化因子.    命题得证.
证毕!

     请朋友指点!

ysr

终于打出来了.

ysr

还有个简单的证明,自己也不信服,不敢贴了.

ysr

证明有问题改正了一下，请朋友指点!

ysr

主楼命题，希望飘飘老弟能用你的新勾股理论证明一下！

ysr

谢谢！接下来如何做？