证明不可能存在一个三位数 abc ，使三个三位数之和 abc+bca+cab 为完全平方数

luyuanhong

这是网友 问题多答案怪 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

luyuanhong

题  证明不可能存在一个三位数 abc ，使三个三位数之和 abc+bca+cab 为完全平方数。

解  三位数 abc,bca,cab 也就是 100a+10b+c ，100b+10c+a ，100c+10a+b 。

    这三个三位数之和就是

      100a+10b+c+100b+10c+a+100c+10a+b = (100+10+1)(a+b+c) = 111(a+b+c) 。

    它含有因子 111 ，如果它要成为完全平方数，就必须含有两个 111 作为它的因子。

但是 a+b+c 最多不过是一个两位数，不可能含有 111 作为它的因子。

    所以，三个三位数之和 abc+bca+cab 不可能是完全平方数。