已知 x^2+xy+y^2=3(x+y+3) ，求 x^2+y^2 的最大值和最小值

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

x^2+xy+y^2=3(x+y+3), 求 x^2+y^2 之最大值及最小值

解

x+y=a, xy=b

(x+y)^2-xy=3(x+y+3) 可得  a^2-b=3(a+3) ,  a^2-b=3a+9   (1)

a,b 是  t^2-at+b=0 的實數解

判別式  a^2-4b >=0  (2)

(1) 帶入 (2) 可得  :  a^2-4(a^2-3a-9) >=0,  a^2-4a-12 <=0

(a-6)(a+2)  <=0,   -2 <= a <= 6

故

x^2+y^2=(x+y)^2-xy=a^2-b= 3a+9 且 -2 <= a <= 6

故 x^2+y^2 最大值是  18+9=27, 最小值是 -6+9=3

我想請問，標準答案是給最小值是 2, 為什麼我的解法解不到 2 ? 錯在哪裡?

luyuanhong