求助：平面上给定三个圆，如何在每个圆上各取一点，使得三个点的距离之和最小

gxulixian

问题：平面上给定三个圆（如图中O1,O2,O3,圆的半径位置都已知），如何在三个圆上各取一点，使得三个点的距离之和最小（即AC+BC+AB的距离之和最小，点A,B,C分别在三个圆上）。
麻烦各位高手看一下，能不能帮忙求解一下这个问题。感激不尽！

王守恩

应该有解吧?

费尔马1

王老师您好：这个题可以用费尔马点来求解。先连结三个圆心得到一个三角形o1o2o3，找出这个三角形的费尔马点M（即等角心120度点），然后分别连接Mo1，Mo2，Mo3，交三个圆于D、E、F，则三角形DEF的周长为最小。大家看是不是？

王守恩

费尔马1 发表于 2016-11-21 07:35
王老师您好：这个题可以用费尔马点来求解。先连结三个圆心得到一个三角形o1o2o3，找出这个三角形的费尔马点 ...

就这么简单？我来试试看！
谢谢费尔马！

费尔马1

当三个圆心构成的三角形，其中有一个角大于等于120度的时候，再采用费尔马点就不行了，这时候可以这样，三角形o1o2o3的各个内角平分线各交圆于一个点，则这三个点所构成的三角形的周长最小。大家看是否正确？

leisurely

这题好玩。
是三个圆的外切圆和三个圆切点构成的三角形。
和两半径不等的圆都相切的圆的圆心轨迹是抛物线，两抛物线交点是圆心。
这样的三角形，如果两个点固定，剩下两边做椭圆的定长，可以看出这个椭圆也和第三个圆相切。就是说改变第三点的话它落在椭圆外，三角形周长肯定比最初的长。
在这个基础上，以原来的周长看，再做椭圆，再改变一个点同样，这个点都挨不上另一个圆，这个改变两点的证明麻烦些。