为什么说赫渥特多阶曲面上的地图着色公式也适用于平面图

雷明85639720

为什么说赫渥特多阶曲面上的地图着色公式也适用于平面图
雷  明
（二○一八年六月二十八日）

    现在，在证明赫渥特多阶曲面上的地图着色公式γ≤＜（7＋√（1＋48（1－N）））/2＞（式中γ是曲面上地图的色数，N是曲面的亏格，＜  ＞表示其中的数字向下取整）时，都是首先除去了亏格N＝0的平面（球面）图，至于为什么要除去，却没有说明，而且最后在公式后面都注有条件（N＞0）。
赫渥特是怎么得到他的多阶曲面上的地图着色公式的，也没有看到文献资料上的介绍，由于他对他给出的赫渥特图是不能4—着色的，所以尽管他的公式在当曲面的亏格N＝0时，结果是γ≤4，但他也只好给他的公式附加了条件（N＞0）。
在2005年由李建中等翻译的韦斯特的《图论导引》一书中，由于作者也认为具有赫渥特图那样的特点的图是不能4—着色的，所以也认为5—构形是不可约的。所以作者韦斯特在证明赫渥特多阶曲面上的地图着色公式时，也提前就把N＝0除去了。并且最后专门说：“当N＝0时，这里给出的这个关键不等式不成立，……，尽管N＝0时公式化简为γ≤4。”
在2006年由范益政等翻译的沙特朗的《图论导引》一书中，同样是由于作者不能对赫渥特图进行4—着色的原因，也提前把N＝0排除在外了。最后还布置了一道作业题让读者完成：“证明：当N＝0时”，公式γ≤＜（7＋√（1＋48（1－N）））/2＞“的证明是不成立的。”本书中所有单号作业题都是有解答的，就唯独这一个单号题没有给出解答，这大概也是作者解答不了的原因吧。出这道题的目的就是有意把读者向赫渥特的地图着色公式不适用于亏格为0的平面图的错误认识上去引导的嘛。为什么不提出“当N＝0时”，公式γ≤＜（7＋√（1＋48（1－N）））/2＞“的证明是否成立”的问句呢。
在哈拉里著的《图论》一书中，也是证明前就把N＝0除后掉了，但最后哈拉里却说：“在N＝0的特殊情形时，γ≤4，这就是四色猜测”。
在1986年由裘光明翻译的巴尔佳斯基等所著《拓扑学奇趣》一书中，则是在所谓四色问题已被机器证明是正确的前提下，才认为N＝0时，赫渥特的地图着色公式对平面图也是适用的。
看来，以上的证明都是在认为赫渥特图不能4—着色的情况进行的。要么就认为赫渥特的地图着色公式根本就不适用于平面图，要么就认为只有在四色猜测被证明是正确的前提下，赫渥特的地图着色公式才是适用于平面图的。我想问一个问题，为什么不去研究对一个只有二十多个顶点的很谙单的赫渥特图的着色呢。虽然这一个图的4—着色成功，不能说明四色猜测就是证明确的，但至少说明目前还没有找到不能4—着色的平面图反例，对证明四色猜测也是没有害处的。如果赫渥特图真的不能进行4—着色，那不就可以直接否定四色猜测了吗。为什么爱好者对赫渥特的4—着色成果，得不到肯定和承认呢，但却又没有看到那个人下结论说赫渥特图就是不可4—着色的呢。数学界总在说，赫渥特图不是不能进行4—着色，但他们谁又拿出了一个对该图4—着色的模式来了呢。许寿椿教授的《图说四色问题》一书中虽然有一个赫渥特图的4—着色的模式，但他是用计算机对一个裸体的赫渥特图（未着色的图）进行着的色，并没有说明他是否可以在赫渥特原着色的基础上进行4—着色。这里强调在原赫渥特原着色的基础上是非党重要的，渥特是用着了色的图对坎泊的证明进行“否定”的，而不是用一个裸体的赫渥特图对坎泊的证明进行“否定”的。因为只有着了颜色，才能表现出图中链与链的相互关系，才能表现出不同构形的特点来。所以证明四色猜测时是要用不是具体图的构形，而不是用的具体的图。因为构形是有限的，而图是无限的，永远也是不可能着色完的。
另外韦斯特和沙特朗的证明中都还使用了林格尔的公式N＝［（V―3）（V―4）/12］（这里的［  ］表示其中的数字向上取整），这也是不合适的。因为可以说林格尔公式与赫渥特的地图着色公式就是同一个公式，他们互为反函数，是可以相互推导的。林格尔公式是一个判断顶点数是V的完全图可嵌入的曲面的亏格N的公式，而完全图的色数就是其顶点数V，把赫渥特公式中的色数γ用顶点数V替换，用V对N进行表示并向上取整就是林格尔公式。由于一个完全图的亏格是其可嵌入的曲面的最小亏格，所以林格尔公式是只用了等号的等式，而不是用了大于等于号的不等式。这两个公式只能相互推导，而不能用作相互证明，否则就是循环论证。
韦斯特有一个错误的观点，认为可嵌入亏格N＞0的曲面上的图中有一个顶点的度最多是比用赫渥特公式计算出来的色数小1，赫渥特的地图着色公式是正确的，而亏格N＝0的平面图中却存在着象正四面体和正二十面体这样的两个图，各个顶点的度都大于用赫渥特的地图着色公式计算出来的色数4减1的现象，所以就得出了赫渥特的地图着色公式不适用于平面图的结论。但这两个图的色数的确是4。如果真是韦斯特所说的，那么我们就只要证明了这两个图的色数是4，也就填补一平面图的这一不足。
爱好者不但对具体的赫渥特图能够进行4—着色，而且也能对与赫渥特图具有同样结构特点的各种构形进行4—着色，并且也能对（5，5）构形和（5，6）构形进行4—着色。证明了5—轮构形是可约的（虽然阿贝尔用计算机对大量的图进行了4—着色，但他们却说他们用以代替5—轮构形的（5，5）构形和（5，6）构形是不可约的。所以说阿贝尔是没有得出四色猜测道底是正确还是不正确的结论的）。所以说是爱好者证明了四色猜测是正确的。从爱好者用欧拉公式（或者叫拓扑不变量）能直接推导出赫渥特多阶曲面上地图的着色公式看，该公式根本对曲面的亏格就没有任何限制，当曲面的亏格N＝0时，色数γ≤4是一个必然的结果，并不是巧合。所以赫渥特的多阶曲面上的地图着色公式是适用于任何亏格的可定向曲面的，当然也一定包括亏格为0的
以上就是笔者认为赫渥特的多阶曲面上的地图着色公式同样也适用于亏格为0的平面和球面的理由。


雷 明
二○一八年六月二十八日于长安

注：此文已于二○一八年七月二日在《中国博士网》上发表过；网址是：

雷明85639720

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