设 a,b 是方程 x^4+x^3-1=0 的两个根，证明 ab 是 x^6+x^4+x^3-x^2-1=0 的一个根

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

moranhuishou

此题已毕待发
现手机不便

moranhuishou

证明
因为x^4+x^3-1=0    （1）
所以x^6+x^4+x^3-x^2-1= (x^6-x^2)+(x^4+x^3-1)=0   （2）
即x^6-x^2=x^2 (x^4-1)= x^2 (x^2+1)(x+1)(x-1)=0
由x-1=0,知x=-1为方程(2)之一根
又因为x^4-1=0
则（1）x^4+x^3-1=（x^4-1）+x^3=0
即（1）同样有x^3=0，x^4-1= (x^2+1)(x+1)(x-1)=0
由X^2+1=0,知方程（1）有二同根 i，设为a,b
则ab=i^2=-1.
得证。

fungarwai

moranhuishou

3楼5行更正笔误为：
由x+1=0,知x=-1为方程(2)之一根

0-1110

luyuanhong

谢谢楼上 0-1110 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

moranhuishou

l陆老师可能对3楼的证明没认真看，证明不会错的，并且可以肯定这才是原出题者的思路——这是一个典型的“叠加”方程题。

luyuanhong

第 3 楼中 moranhuishou 的证明是错误的。

x^4+x^3-1=0  是 a 和 b 满足的方程，乘积 ab 不满足这个方程。

x^6+x^4+x^3-x^2-1=0  是乘积 ab 满足的方程，单独的 a 和 b 不满足这方程。

可见这是两个不同意义的方程，不能简单地作加减。

作加减后得到的方程，单独 a 和 b ，以及乘积 ab  都不是它的根，所以毫无意义。

事实上，可求得 x^4+x^3-1=0  的四个根是

x1=0.8191725133 ，

x2=-1.380277569 ，

x3=-0.2194474721-0.9144736629 i ，

x4=-0.2194474721+0.9144736629 i  。

第 3 楼中 moranhuishou 说：

“知方程（1）有二同根 i，设为a,b 则ab=i^2=-1.”

显然是不对的。
  

moranhuishou

(1)是两个方程
x^4-1=0   , x^3=0   
的“叠加”.

(2)是方程（1）与方程
x^6-x^2=0
的“叠加”。

这（1）（2）是“你中有我，我中有你”的两个方程。

（1）有根a=i,b=i

(2)有根-1=ab=i*i

正合题意。