解二元二次不定方程可否有不对常数项进行因子分解的解法？

linnlinn37

    解缺xy项的二元二次不定方程可否有一种在演变过程不依赖于对常数项(下例为1241或其倍数)进行因子分解的解法（初等或高等）：如x2- y2+ 37x - 14y - 17 = 0
这样一道题，一般的做法是将它简化为 X2-16Y2=D等形式，然后对常数项D进行因子分解，进而再求各解集。现在要求找到一种不对常数项进行因子分解的解法。为此，我们曾把该方程分解为两个方程,再用（编程）求交集的方法，求得八组整数解 { x1 , y1 } = { 4 , 7} ; { x2 , y2 } = { -41 , -21} ; { x3 , y3 } = {292 , 303} ; {x4 , y4} = {-329 , -317};{ x5 , y5 } = { 4 , -21} ;{ x6 , y6 } = { -41 , 7} ;{ x7 , y7 } = { 292 , -317} ;{ x8 , y8 } = { -329 , 303} 。 此法虽然避开了对常数项的因子分解，但算法过于繁琐，计算量过大，实用价值不大。能否找到一种有实用价值的不用因子分解的解法呢？退一步要求，若能有方法求出最小正整数解x1也行，或能有方法判定它必有x1*x2为负也行。请指教！(从严格上讲，整数的因子分解除试算法或其改进外，至今还没有完全成熟的方法，作为已较成熟的不定方程解法若能不依赖对常数项的因子分解有很好的理论意义)
       我还试过,若对上式作平移,在保证曲线上整点位置不变(坐标值可变)的情况下,可变成:
2x2 - 2y2 + 2x - 620 = 0
这时,等轴双曲线中心坐标为{-0.5 , 0},可得解平凡解：
{x3 ，y3}=（310 . 310），这是轻而易举的,必然的. 进一步可求得非平凡解:{x1 , y1}={22，14}，进而可容易推理求得{x2 , y2}={-23，-14}等其他各组解.现在的困难仍在于，在不依赖对常数项进行因子分解的情况下，如何求得非平凡解{x1 , y1}?从使用的要求来说,求得最小正整数解{x1，y1}就足够了.

linnlinn37

2x2 - 2y2 + 2x - 620 = 0应改为x2 - y2 + x - 310 = 0