约当曲线理论与图的着色

雷明85639720

约当曲线理论与图的着色
——应一棵小草之邀而作
雷  明
（二○一五年二月二十六日）

1、约当曲线及其特性
在任意曲面上画一条封闭的曲线，这就是约当曲线。即约当曲线就是一条封闭曲线。这条曲线把曲面分成了曲线内和曲线外的两个部分。要从曲面上的任一部分的任一点到达曲面上另一部分的任一个点，不穿过该曲线是不可能的。
2、约当曲线在图着色中的应用
图论中的道路，可以看成是一条曲线，那么一条闭合的道路即圈也就是一条封闭的曲线，也可以看成是一条约当曲线。图的着色中由两种颜色交替着色的道路叫一条色链。一条环形的色链也可以看成是约当色链。在用四种颜色着色的图中，若存在一条由A、B两种颜色构成的约当链，那么该约当链一定把由其他的C、D两种颜色构成的色链分隔成两个互不连通的两部分。在使用坎泊的颜色交换技术时，交换任一部分的C、D链，是不会影响到另一部分C、D链的。这可以说是约当曲线在图着色中的应用。
平面图的着色中往会遇到这种情况，即一个顶点外的其他顶点都已着上了四种颜色之一，并符合着色的要求，即任意两相邻的顶点都着有不同的颜色。这一顶点（待着色顶点）如何着色，就要用到约当曲线理论。
以待着色顶点为中心的轮形图的两个对角轮沿顶点的颜色A、B所构成的色链不连通时，即通过该两个A、B色的顶点与待着色顶点构成的道路不是一个圈，也即不是一条约当链或约当曲线时，则这时无论从A、B二色的那一个顶点开始施行坎泊的颜色交换技术，都能空出颜色A或B来给待着色顶点着上。否则，通过该两个A、B色的顶点与待着色顶点构成的道路成为一个圈时，这也就相当是一条约当链或约当曲线，这时若再对其进行交换，与待着色顶点相邻的两个对角轮沿顶点只是变换了一下颜色，A色顶点变成了B色，B色顶点变成了A色，并不会空出颜色A或B来给待着色顶点着上。但是，这一约当链或约当曲线却把图分成了该约当曲线内、外互不连通的两部分，或者说把与该约当链或约曲线的相反色链（C—D链）分成了互不连通的两部分，那么我们可以对这一相反色链从以待着色顶点为中心的轮的另外的任一C顶点或D顶开始施行坎泊的颜色交换技术，空出颜色C或D来给待着色顶点着上。这就是我们一般对非赫渥特图的着色方法。
还有一种情况，就是我们只想改变图中一部分A—B链各顶点的颜色，那么图中只要有一条C—D环形链（或C—D约当链或约当曲线）时，就可以对约当链C—D环内外的任一部分A—B链进行交换，即可达到目的。这就是我们把赫渥特图变成非赫渥特图的方法，也就是我说的“断链法”。
3、赫渥特交换了约当链，当然他不可能空出颜色
赫渥特对他的图在施行了一次关于B的色链的交换后，另一条关于B的色链已经变成了一条约当链或约当曲线了。但他不加分折的仍然对该已变成约当链的链进行交换，当然是空不出颜色给待着色顶点的。是赫渥特犯了错误，并不是坎泊创造的颜色交换技术有错。现在我们对赫渥特的图采用在C—D约当链内、外施行坎泊的颜色交换技术，把赫渥特图变成非赫渥特图，就可以空出颜色给待着色顶点着上了。说明赫渥特的图仍是4—可着色的，更进一步说明了赫渥特对坎泊的否定是错误的。赫渥特图并不是什么反例图，而是一个非常平常的平面图，说明了赫渥特对坎泊的否定完全是诡辩，是伪科学。

雷  明
二○一五年二月二十六日于长安

注：此文已于二○一五年二月二十六日在《中国博士网》上发表过。网址是：