用赫渥特的地图着色公式道底能否证明四色猜测

雷明85639720

用赫渥特的地图着色公式道底能否证明四色猜测
——回复82615471的“十批评”
雷  明
（二○一五年三月十七日）

2012 年6 月13 日“82615471”所发的《 ［警钟长鸣］这些证明“四色问题”的方法都不成立！》一文中批评了十种证明四色猜测的方法都是错误的，其中第九条就是“用亏格 n = 0 时，Heawood 着色公式的着色值不大于 4 证明的！”，并且在2012 年9 月19 日，作出“简单说明”，其中对第九条的说明是这样的：
“第 9 种证明方法，不能成立的原因，可见： G。沙特朗，等。图论导引。范益政，等译。人民邮电出版社，2007。第 257-259 页。F。哈拉里。图论。李慰萱，译。上海科学技术出版社，1980。第 156-158 页。B。韦斯特。图论导引（第2 版）。李建中等译。机械工业出版社，2006。第213-214 页。（ 注意 ---- 用 Heawood 公式计算出来的，是亏格 n 为不同值时的顶点数，但其着色数还需要再证明！）”
这三本书中的相应页都是对赫渥特的地图着色猜想（即地图着色公式）进行证明的。文中均没有提及该公式的来历（我猜想他们也给不出来，包括82615471也是给不出来的），但都对该公式附加了条件，图的亏格n＞0，把亏格为0的平面图排斥在外。但这也不是书作者的原因，而是因为赫渥特对他的图（平面图）不能4—着色，所以他在提出多阶曲面上图的着色猜想时就必须把平面图排除在外。当时赫渥特提出的就是一个公式，也不是经过严密的推导而来，所以只能属于经验公式之类。当时赫渥特只证明了n＝1时公式是正确的，78年后，后人才陆续证明完了对于n≥1的所有定向曲面上的图，赫渥特的地图着色公式也都是正确的，而唯独就只有n＝0的平面图，没有被证明对于赫渥特的地图着色公式是否适用的问题。所以大伙都认为赫渥特的地图着色公式就是不适用于亏格为0的平面图的。这说明了大伙还不明白这个赫渥特的地图着色公式也是能构从适用于亏格为0 的平面图的多价曲面上图的欧拉公式直接推导出来的，且与赫渥特的猜想一点不差。而人们到现在还总以为赫渥特的地图着色公式还只是一个猜想或者经验公式呢。人们到现在并不认为当n＝0时公式的计算结果γ≤4就是必然的结果，而还以为是一个偶然的巧合呢。于是三本书中分别得出如下的结论：
沙特朗认为赫渥特的地图着色公式与阿贝尔的“证明”相结合，就可得到“对每个非负整数”来说，赫渥特的地图着色公式都是成立的（第259页）。《图论的例和反例》一书的作者M•卡波边柯和J•莫鲁卓早也是这样认为的。
哈拉里则认为赫渥特的地图着色公式“在n＝0时的特殊情形就是4CC”（第158页）。4CC是什么，就是四色猜测嘛。
而韦斯特则认为“当n＝0时，……对可平面图来讲这里的论述是无效的，尽管n＝0时公式简化为γ≤4。其中“这里的论述”就是指他们对赫渥特的地图着色公式的证明。
这三个人虽然都认为当n＝0时，图的色数的确是小于等4的，用赫渥特的地图着色公式计算的结果也正好是小于等于4的，但他们并不认为这是必然的结果，所以他们仍认为n＝0时，赫渥特的地图着色公式是不成立的。
的确，赫渥特的地图着色公式是可以直接从适用于n＝0时的平面图的多阶曲面上图的欧拉公式推导出来的，在n＝0时其计算结果的确是小于等于4的。这说明了在一个半世纪之前，赫渥特的猜想是正确的，使猜想变成了定理（有人也把赫渥特的地图着色公式叫做赫渥特地图着色定理）。现在把赫渥特的地图着色公式推导如下：
任意图通过同化运算最后都可以得到一个顶点数最少的完全图（完全同态），其亏格也一定是小于等于原图的亏格的（该结论的证明请见我的博文《图的最小完全同态的亏格一定小于等于原图亏格的证明》）。而完全图着色时的色数就等于其顶点数，所以任意亏格的图的色数也就等于该图的最小完全同态的顶点数。
把任意亏格的图中面与边的关系3f≤2e即f≤2e/3代入多阶曲面上图的欧拉公式v＋f－e＝2（1－n）中得
        3v－e＝≥6－6n
再把完全图中边与顶点的关系e＝v（v－1）/2代入上式得
        v2－7v＋12（1－n）≤0
解这个关于完全图的顶点数v的一元二次不等式得正根是
        v≤（7＋√（1＋48n））/2
这就是亏格为n的图的最小完全同态的顶点数。又因为完全图的色数就等于其顶点数，所以又有
       γ≤（7＋√（1＋48n））/2
这就是赫渥特的地图着色公式。当n＝0时，上式的计算结果是γ≤4，这也就是四色猜测。四色猜测得证是正确的。
现在赫渥特的地图着色公式不再是一个猜想了，而是一个可以的证导出来的真正的公式了。当n＝0时的多阶曲面上图的公式是成立的，那么当n＝0时，从多阶曲面上图的欧拉公式推导出来的赫渥特的地图着色公式也应该就是成立的。该公式后面应把那个附加条件（n＞0）去掉。
82615471还说“注意 ---- 用 Heawood 公式计算出来的，是亏格 n 为不同值时的顶点数，但其着色数还需要再证明！）”，这里少了几个字，应该说计算出来的结果“是亏格n为不同值时的图的最寂完全同态的顶点数”。也就是因为完全图的色数等于其顶点数，而任何图的色数就是其最小完全同态的顶点数（哈拉里），所以说赫渥特的地图着色公式计算出来的结果是色数而不是顶点数。
82615471与xyz-xyz这些数学家们，你们能推导出赫渥特的地图着公色公式吗，你们认为该公式是必然的呢，还是经验的呢。当n＝0时，该公式计算结果是γ≤4，你们认为是必然呢，还是偶然呢。现在我还要问，到目前为止，还都不知道赫渥特的地图着色公式是怎么来的，又怎么证明n≥1时，赫渥特的地图着色公式都是成立的呢。
雷  明
二○一五年三月十七日于长安
注：此文已于二○一五年三月十七日在《中国博士网》上发表过，网址是：