设 ζ=cos(2π/15)+isin(2π/15)，求满足 f(ζ)=0 的次数最低的整系数非零多项式 f(x)

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

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从

x^15-1=(x^3-1)(x^12+x^9+x^6+x^3+1)

=(x-1)(x^2+x+1)(x^12+x^9+x^6+x^3+1)

可看出  x^15-1 含有因式 x^2+x+1 。

又从

x^15-1=(x^5-1)(x^10+x^5+1)

=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)(x^10+x^5+1)

可看出 x^15-1 含有因式  x^4+x^3+x^2+x+1 。

在  x^4+x^3+x^2+x+1 中显然不含有因式 x^2+x+1 。

所以必定是 x^10+x^5+1 中含有因式 x^2+x+1 。

作多项式除法，就可以得到

（x^10+x^5+1）/（x^2+x+1）=x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1 。