公理和定理有什么区别？

奇数的世界

请问各位专家，能否给一个明显的区别？

中国上海市

公理是原始的大家公认的理论，是无法证明因此也是无需证明的，公理的存在是为了证明定理，由此可见，公理是越少越好

奇数的世界

中国上海市 发表于 2015-3-24 20:12
公理是原始的大家公认的理论，是无法证明因此也是无需证明的，公理的存在是为了证明定理，由此可见，公理是 ...

谢谢老师，我明白很多了。

带有 不可能 三个字 能都算着公理吗？
带有 必定 一定是定理吗？

fm1134

公理(axiom)是一切推理的出发点，而定理(theorem)是由公理加上逻辑推理规则而推导出的结论。

luyuanhong

奇数的世界 发表于 2015-3-27 11:02
谢谢老师，我明白很多了。

带有 不可能 三个字 能都算着公理吗？

带有 “不可能” 三个字的命题不一定是公理，例如：

命题 “奇数不可能被 2 整除” 中有 “不可能” ，但这命题可以证明，是定理不是公理。

带有 “必定” 两个字的命题也可以是公理，例如：

命题 “过任意两点必定可以作一条直线” 中带有 “必定” ，

但这命题就是一条公理不是定理，它是不能证明的，我们只能无条件承认它。

奇数的世界

陆教授的话我明白了一些了，谢谢。
我还想问：是否带有 “不可能” 三个字的命题都是定理？有没有的是公理？请你举几个例子来。
带有”必定“两字的公理有多少？能否多举些例子来？

luyuanhong

我们要懂得： “必定” “不可能” 只不过是一种语言表达形式而已。

任何一个确定性的命题，都可以在它的表达式中插入 “必定” 两字，

也可以换一种说法，在它的表达式中插入 “不可能” 三字。

例如：

“勾股弦定理”可以表达为：

    直角三角形两条直角边的平方和，必定等于斜边的平方和。

“勾股弦定理”也可以表达为：

    直角三角形两条直角边的平方和，不可能大于或小于斜边的平方和。

“负数相乘法则（负负得正）”可以表示为：

    两个负数的乘积，必定等于一个正数。

“负数相乘法则（负负得正）”也可以表达为：

    两个负数的乘积，不可能是负数或零。

“哥德巴赫猜想”可以表达为：

    任何大于2的偶数，都必定可以表示成两个素数之和。

“哥德巴赫猜想”也可以表达为：

    不可能找到一个大于2的偶数，使得它不能表示成两个素数之和。

奇数的世界

luyuanhong 发表于 2015-3-27 17:45
我们要懂得： “必定” “不可能” 只不过是一种语言表达形式而已。

任何一个确定性的命题，都可以在它 ...

陆教授，那么对于数论有没有公理呢？

luyuanhong

Peano 公理由下列 5 条组成：

（1）1 是自然数。

（2）每一个确定的自然数 x ，都有一个确定的后继 x'=x+1 ，x' 也是自然数。

（3）1 不是任何自然数的后继。

（4）如果自然数 x≠y ，那么它们的后继也不同，即必有 x'≠y' 。

（5）任何一个自然数的集合，如果包含 1 、并且当它包含 x 时必包含 x' ，那么，

     这个集合必定包含所有的自然数。

奇数的世界

我明白了。谢谢陆教授的详细的解答。在问一个问题，在下面。