任意图的最小完全同态的亏格小于等于原图的亏格和四色猜测的证明

雷明85639720

任意图的最小完全同态的亏格小于等于原图的亏格和四色猜测的证明
雷  明
(二○一五年三月二十五日)

任何图中不相邻的顶点可以同化成一个顶点，着色时也可以着成同一种颜色。任何图均可同化成一个顶点数不能再减少的完全图，这就是该图的最小完全同态。该完全同态着色时的色数就是其顶点数，所以任何图的着色数也就等于其最小完全同态的顶点数。
因为同化过程是一个顶点不断减少的过程，加之完全图的最小完全同态就是其本身，所以可以说任何图的最小完全同态的顶点数一定是小于等于原图顶点数的。现在要问，任意图的最小完全同态的亏格是不是也有与其顶点数同样的结论呢。我们采用反证法证明如下：
设一个任意图可嵌入的曲面的最小亏格是n曲面，那么，该图的亏格也就是该曲面的亏格，即有n原图＝n曲面。假设一个任意图的最小完全同态的亏格是大于原图的亏格的，即n同态＞n原图，那么该完全同态可嵌入的曲面的最小亏格为n曲面＝n同态＞n原图。把这个完全同态按原同化时的反方向展开后，就可得到同化前的原图。但这个所谓的“原图”可嵌入曲面的最小亏格却变成了n曲面＝n同态＞n原图，出现了n“原图”＝n同态＞n原图的错误结果，即n“原图”≠n原图，同一个图的亏格却不相同。这与原图可嵌入的曲面的最小亏格是n曲面＝n原图就成了矛盾。说明原假设的任意图的最小完全同态的亏格大于原图的亏格是错误的，必须否定假设。所以就有任意图的最小完全同态的亏格一定小于等于原图的亏格的结论。
根据以上的结论，任何亏格为n＝0的平面图的最小完全同态的亏格一定仍然是等于0的，也即任何平面图的最小完全同态一定都是平面图。平面图中只有K1，K2，K3，K4四种完全图，其色数分别是1，2，3和4，都不大于4，这就证明了四色猜测是正确的。

雷  明
二○一五年三月二十五日于长安

注：此文已于二○一五年三月二十五日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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