相反数 佩尔方程

蔡家雄

若 \(x^2 - d*y^2= ±{m_1}\) 都有正整数解，

且 \(x^2 - d*y^2= ±{m_2}\) 都有正整数解，

则 \(x^2 - d*y^2= ±({m_1}*{m_2})\) 都有正整数解，,



用 \(T\) 表示 \(\sqrt {(2n+1)^2+4} \) 的循环连分数的周期，

则 \(T( \sqrt {(2n+1)^2+4} )\) 必为奇数 ，

则 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2= ±1\) 必有正整数解，，

则 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2= ±(2n+1)\) 必有正整数解，，

则 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2= ±((2n+1)^2+4)\) 必有正整数解，，



求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2=1\) 的最小解

则 \(x=2*((2n+1)^2+4)*(2n^2+2n+1)^2 -1\) ,

     \(y=(4n+2)*(n^2+(n+1)^2)*(n^2+(n+1)^2+1)\) .


求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2= -1\) 的最小解

则 \(x=(2n+1)*((2n+1)^2+3)/2\) , \(y=((2n+1)^2+1)/2\) .


求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2=(2n+1)\) 的最小解，

则 \(x=2*n^2+n+1\) ,  \(y=n\) .


求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2= - (2n+1)\) 的最小解，

则 \(x=2*n^2+3n+2\) ,  \(y=n+1\) .


求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2=±((2n+1)^2+4)\) 的最小解

\((2n+1)^2+4=5, 13, 29, 53, 85, 125, 173, 229, 293, 365, ..... \)

(5 , [5 , 2] , [20 , 9])
(13 , [65 , 18] , [2340 , 649])
(29 , [377 , 70] , [52780 , 9801])
(53 , [1325 , 182] , [482300 , 66249])
(85 , [3485 , 378] , [2634660 , 285769])
(125 , [7625 , 682] , [10400500 , 930249])
(173 , [14705 , 1118] , [32880380 , 2499849])
(229 , [25877 , 1710] , [88499340 , 5848201])
(293 , [42485 , 2482] , [210895540 , 12320649])
(365 , [66065 , 3458] , [456905540 , 23915529])


求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2=((2n+1)^2+4)\) 的最小解，

则 \(x=(n^2+(n+1)^2)*((2n+1)^2+4)\) ,  \(y=2*((n+1)(n^2+(n+1)^2) - n^2)\) .


求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2= - ((2n+1)^2+4)\) 的最小解，

则 \(x=2*(n^2+(n+1)^2)*((2n+1)^2+4)*(2*((n+1)(n^2+(n+1)^2) - n^2))\) ,

    \(y=(n^2+(n+1)^2)*((2n+1)^2+4)*((2n+1)^2+1) -1\) .


设 \(p=4k+1\) 是质数，

则 \(x^2 - p*y^2= ±p\) 都有解，并求出它的最小解，

5 , [5 , 2] , [20 , 9]
13 , [65 , 18] , [2340 , 649]
17 , [17 , 4] , [136 , 33]
29 , [377 , 70] , [52780 , 9801]
37 , [37 , 6] , [444 , 73]
41 , [205 , 32] , [13120 , 2049]
53 , [1325 , 182] , [482300 , 66249]
61 , [232105 , 29718] , [13795392780 , 1766319049]
73 , [9125 , 1068] , [19491000 , 2281249]
89 , [4717 , 500] , [4717000 , 500001]
97 , [55193 , 5604] , [618603144 , 62809633]



若 \(p\) 的素因子均为 \(8k -1\) 型 或是 \(8k+1\) 型，

有 \(p\) 的素因子 \(= 7, 17, 23, 31, 41, 47, 71, 73, 79, 89, 97,\) ......

则 \(x^2 - 2*y^2 = ±p\) 必有正整数解和通解公式。


设 \(4k+1=a^2+b^2\) 是质数，且 \(a\) 是奇数，

则 \(x^2 - (4k+1)*y^2= ±a\) 必有正整数解，，



平方剩余奇质数问题

设 \(4d+1\) 是奇质数，且 \(4d+1\) 不为 \(1+4^r*(2t+1)^2\) ，

设 \(n^2\)  \(mod\)  \((4d+1)=\)  \(p\) 是奇质数，

若 \(2*(4d+1)*k -p\) 是质数 或 \(2*(4d+1)*k+p\) 是质数，

则 \(x^2 - (4d+1)*y^2= ±p\) 必有正整数解，，

则 \(x^2 - (4d+1)*y^2= ±(2*(4d+1)*k -p)\) 必有正整数解，，

则 \(x^2 - (4d+1)*y^2= ±(2*(4d+1)*k+p)\) 必有正整数解，，



模 17 的平方剩余奇质数 p= 13 .

模 29 的平方剩余奇质数 p= 5, 7, 13, 23 .

模 41 的平方剩余奇质数 p= 5, 23, 31, 37 .

模 53 的平方剩余奇质数 p= 7, 11, 13, 17, 29, 37, 43, 47 .

模 61 的平方剩余奇质数 p= 3, 5, 13, 19, 41, 47 .

模 73 的平方剩余奇质数 p= 3, 19, 23, 37, 41, 61, 67, 71 .

模 89 的平方剩余奇质数 p= 5, 11, 17, 47, 53, 67, 71, 73, 79 .

模 97 的平方剩余奇质数 p= 3, 11, 31, 43, 47, 53, 61, 73, 79, 89 .


设 奇质数 D＝a^2＋4^r*(2t+1)^2，且 a 与 (2t+1) 都是 >=3 的奇数，

则 素数模 D 的平方剩余奇质数，必 含有奇数 a 与 (2t+1) 的素因子，，，




求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2=2*((2n+1)^2+4)+1\) 的最小解，

则 \(x=(2n+1)^2+3\) , \(y=2n+1\) .

求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2= - (2*((2n+1)^2+4)+1)\) 的最小解，

则 \(x=(2n+1)*((2n+1)^2+5)/2\) , \(y=((2n+1)^2+3)/2\) .


求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2=(2n+1)*((2n+1)^2+4)\) 的最小解，

则 \(x=(n+1)*((2n+1)^2+4)\) ,  \(y=2*n^2+3n+2\) .

求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2= - (2n+1)*((2n+1)^2+4)\) 的最小解，

则 \(x=n*((2n+1)^2+4)\) ,  \(y=2*n^2+n+1\) .


求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2= (2n+1)*(2*((2n+1)^2+4)+1)\) 最小解，

则 \(x=2*n^2+3n+4\) ,  \(y=n -1\) .

求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2= - (2n+1)*(2*((2n+1)^2+4)+1)\) 最小解，

则 \(x=2*n^2+n+3\) ,  \(y=n+2\) .


求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2= ((2n+1)^2+4)*(2*((2n+1)^2+4)+1)\) 的通解公式，

则 \(x=(2*n^2+2n+2)*((2n+1)^2+4)\) ,  \(y=n*((2n+1)^2+4)+(2*n^2+3n+3)\) . 此解 \(n>=2\) .

求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2= - ((2n+1)^2+4)*(2*((2n+1)^2+4)+1)\) 的通解公式，

则 \(x=(2n+1)*((2n+1)^2+4)\) ,  \(y=(2n+1)^2+3\) . 此解 \(n>=1\) .


求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2= (2n+1)*((2n+1)^2+4)*(2*((2n+1)^2+4)+1)\) 的通解公式，

则 \(x=(n+2)*((2n+1)^2+4)\) ,  \(y=2*n^2+n+3\) . 此解 \(n>=1\) .

求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2= - (2n+1)*((2n+1)^2+4)*(2*((2n+1)^2+4)+1)\) 的通解公式，

则 \(x=(n -1)*((2n+1)^2+4)\) ,  \(y=2*n^2+3n+4\) . 此解 \(n>=2\) .


求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2= (2n+1)*((2n+1)^2+4)*(6*((2n+1)^2+4)+1)\) 的通解公式，

则 \(x=(3n+4)*((2n+1)^2+4)\) ,  \(y=(3*((2n+1)^2+4)+(2n -1))/2\) . 此解 \(n>=2\) .

求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2= - (2n+1)*((2n+1)^2+4)*(6*((2n+1)^2+4)+1)\) 的通解公式，

则 \(x=(3n -1)*((2n+1)^2+4)\) ,  \(y=(3*((2n+1)^2+4) - (2n+3))/2\) . 此解 \(n>=1\) .


及 \(±m= ±((4k+2)*((2n+1)^2+4)+1)\) ,

及 两个或多个 \(±m\) 的乘积，

求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2= ±((4k+2)*((2n+1)^2+4)+1)\) 必有正整数解，，


求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2= 6*((2n+1)^2+4)+1\) 的通解公式，

则 \(x=(2n+1)^2+5\) ,  \(y=2n+1\) .  

求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2= - (6*((2n+1)^2+4)+1)\) 的通解公式，

则 \(x=(2n+1)*(6*n*(n+1)+7)\) ,  \(y=6*n*(n+1)+4\) .



若 \(4k+1\) 是质数，

则 \(x^2 - (4k+1)^3*y^2= -1\) 必有正整数解，，

则 \(x^2 - (4k+1)*((4k+1)*y)^2= -1\) 必有正整数解，，



若 \(4k+1\) 和 \(4k+1+2^{2t+1}\) 都是质数，其中 \(t>=1\) ，

则 \(x^2 - (4k+1)(4k+1+2^{2t+1})*y^2= -1\) 必有正整数解，，



若 \(8k+5\) 是质数，

则 \(x^2 - 2*(8k+5)^m*y^2= ±1\) 必有正整数解，，

设 \(8k+5\) 是质数，

若 \(x_1\) , \(y_1\) 是 \(x^2 - 2*(8k+5)^m*y^2= -1\) 的最小解，

则 \(x=2*x_1*x_1+1\) , \(y=2*(x_1*y_1)\) 是 \(x^2 - 2*(8k+5)^m*y^2= 1\) 的最小解，


若 \(8k+5\) 是质数，

则 \(x^2 - 2*(8k+5)^m*y^2= ±2*(8k+5)^m\) 必有正整数解，，

设 \(8k+5\) 是质数，

若 \(x_1\) , \(y_1\) 是 \(x^2 - 2*(8k+5)^m*y^2= 2*(8k+5)^m\) 的最小解，

则 \(x=2*(x_1*y_1)\) , \(y=2*y_1*y_1+1\) 是 \(x^2 - 2*(8k+5)^m*y^2= -2*(8k+5)^m\) 的最小解，



若 \(8a+5\) 和 \(8b+5\) 都是质数，\(( a < b )\)

且 \((8b+5) - (8a+5)=(2n+1)^2 -1\)，

或 \((8b+5) -(8a+5)=8*n^2\)，

则 \(x^2 - (8a+5)*(8b+5)*y^2= ±1\) 都有正整数解，，

则 \(x^2 - (8a+5)*(8b+5)*y^2= ±(8a+5)*(8b+5)\) 都有正整数解，，



三条件的素性测试新算法：

Ln = ((1+√5)/2)^n+((1 - √5)/2)^n
    = 1，3，4，7，11，18，29，47，......

Cn = [(1+√2)^n+(1 - √2)^n]/2
    = 1，3，7，17，41，99，239，577，......

若 2^(n-1)  mod  n = 1,
且 Ln   mod   n = 1,
且 Cn   mod   n = 1,
则 n 一定是素数。


编程验证
s = 1;
For[n = 1, n <= 1000000, n++,
If[(Mod[2^(n - 1), n] == 1)
&& (Mod[Round[((1+√5)/2)^n+((1 - √5)/2)^n], n] == 1)
&& (Mod[Round[((1+√2)^n+(1 - √2)^n)/2], n] == 1), s=s+1;
  Print[s, "-----", n, "-----", PrimeQ[n]]]]


如下这个函数指令，

PowerMod[10, 2^32, 499927^25*2^32+1] 可以验证到 m <=10^10000（一万位数）

表示：10^(2^32) 模素数 499927^25*2^32+1 的余数，，，，，，，，，

三条件的素性测试新算法：征求：最新编程验证

即由 公式算法 成为实用的 计算机算法！！！

蔡家雄

素数倒数最大循环节长定理

设 k 为非负整数，

若 30k+7 和 120k+29 都是素数，

则 1/(120k+29) 具有最大循环节长d= 120k+28.

蔡氏完全循环节问题

设 k , r 为非负整数，

若 30k+7 与 (30k+7)^(4r+1)*4+1 都是素数，

则 10 是素数 (30k+7)^(4r+1)*4+1 的原根。


设 k , r 为非负整数，

若 30k+7 与 (30k+7)^(4r+1)*4+1 都是素数，则 10 是素数 (30k+7)^(4r+1)*4+1 的原根。


若 30k+7 与 (30k+7)^1*4+1 都是素数，则 10 是素数 (30k+7)^1*4+1 的原根。

若 30k+7 与 (30k+7)^5*4+1 都是素数，则 10 是素数 (30k+7)^5*4+1 的原根。

若 30k+7 与 (30k+7)^9*4+1 都是素数，则 10 是素数 (30k+7)^9*4+1 的原根。

若 30k+7 与 (30k+7)^13*4+1 都是素数，则 10 是素数 (30k+7)^13*4+1 的原根。

若 30k+7 与 (30k+7)^17*4+1 都是素数，则 10 是素数 (30k+7)^17*4+1 的原根。

若 30k+7 与 (30k+7)^21*4+1 都是素数，则 10 是素数 (30k+7)^21*4+1 的原根。

若 30k+7 与 (30k+7)^25*4+1 都是素数，则 10 是素数 (30k+7)^25*4+1 的原根。

若 30k+7 与 (30k+7)^29*4+1 都是素数，则 10 是素数 (30k+7)^29*4+1 的原根。

蔡家雄

具有完全循环节的一条龙素数及其代码

设 n >=2 ,              
                                                         
若 (2*10^n+7)/9 是素数，则 10 是这个素数的原根。                                          
                                                                              
有 n=2, 3, 8, 11, 36, 95, 101, 128, 260, 351, 467, 645, 1011, 1178, 1217, 2442, 3761, 3806, 15617, 26459, 63117, 88545, 93497, ......


设 n >=2 ,   
                                                                 
若 (4*10^n+23)/9 是素数，则 10 是这个素数的原根。                                               
                                                                                 
有 n=2, 4, 10, 20, 26, 722, 1310, 3170, 28934, 66284, 67796, 231254, 338476, ......


设 n >=2 ,      
                                                                       
若 (8*10^n - 17)/9 是素数，则 10 是这个素数的原根。                                       
                                                                           
有 n=3, 4, 6, 9, 12, 72, 118, 124, 190, 244, 304, 357, 1422, 2691, 5538, 7581, 21906, 32176, 44358，......  


设 n >=2 ,   

若 (2*10^n+61)/9 是素数，则 10 是这个素数的原根。                                       
                                                                                       
有 n=2, 3, 5, 14, 176, 416, 2505, 2759, 7925, 9401, 10391, 12105, 19616, 261704, 264539，.......


B类具有完全循环节的一条龙素数，

若 (2*10^n - 23)/3 是素数，则 10 是这个素数的原根。

谢谢树新蜂老师提供100000内的 n={2, 3, 4, 26, 44, 58, 73, 88, 211, 244, 1393, 2282, 4108, 6777, 7480, 14369, 16153, 21081, 24308, 27368, 43455, 51597, 55559, 67405, 88112}


B类具有完全循环节的一条龙素数，

若 (2*10^n - 59)/3 是素数，则 10 是这个素数的原根。

谢谢树新蜂老师提供100000内的 n={2, 3, 6, 9, 10, 14, 15, 34, 49, 56, 138, 250, 350, 357, 374, 392, 1594, 4794, 5290, 6702, 11936, 22296, 55762, 55834, 96195}


C类具有完全循环节的一条龙素数，

若 (8*10^n - 11)/3 是素数，则 10 是这个素数的原根。

谢谢树新蜂老师提供100000以内的 n={1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 21, 30, 68, 73, 169, 176, 345, 823, 1021, 1191, 2073, 2755, 10717, 14673, 16754, 17606, 81029}

判断：10 是素数 263 的原根，

判断：10 是素数 2663 的原根，

判断：10 是素数 266663 的原根，

判断：10 是素数 2666663 的原根，

判断：10 是素数 26666663 的原根，

判断：10 是素数 26666666666663 的原根，

判断：10 是素数 266666666666666666666663 的原根，

判断：10 是素数 2666666666666666666666666666663 的原根，

判断：10 是素数 266666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666663 的原根，

判断：10 是素数 26666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666663 的原根，


D类具有完全循环节的一条龙素数，

蔡氏完全循环节问题

若 \(2*10^n - 51\) 是素数，则 10 是这个素数的原根。

谢谢树新蜂老师提供100000以内的 n={2, 3, 4, 8, 11, 13, 17, 28, 56, 105, 231, 339, 643, 922, 1219, 1880, 2209, 4238, 4987, 14770, 56194, 67043, 96867}

已知：10 是素数 149 的原根，

已知：10 是素数 1949 的原根，

已知：10 是素数 19949 的原根，

判断：10 是素数 199999949 的原根，

判断：10 是素数 199999999949 的原根，

判断：10 是素数 19999999999949 的原根，

判断：10 是素数 199999999999999949 的原根，

判断：10 是素数 19999999999999999999999999949 的原根，

判断：10 是素数 199999999999999999999999999999999999999999999999999999949 的原根，

判断：10 是素数 1999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999949 的原根，

蔡家雄

蔡氏完全循环节问题

设 n>=3,

设 P 和 2^n*P+1 都是素数，

且 10^(2^n) -1 不能被 2^n*P+1 整除，

若 2^n*P+1 ≡ 17 或 33（mod  40），

则 10 是 2^n*P+1 的原根，

则 1/(2^n*P+1) 具有最大循环节长d= 2^n*P .


蔡氏完全循环节问题

设 k 为正整数，r , t 为非负整数，

若 (30k+17) 与 (30k+17)*2^(4t+3)+1 都是素数，
则 10 是素数 (30k+17)*2^(4t+3)+1 的原根，
则 10 是素数 (30k+17)^(4r+1)*2^(4t+3)+1 的原根。

若 (30k+29) 与 (30k+29)*2^(4t+3)+1 都是素数，
则 10 是素数 (30k+29)*2^(4t+3)+1 的原根，
则 10 是素数 (30k+29)^(4r+1)*2^(4t+3)+1 的原根。

若 (30k+1) 与 (30k+1)*2^(4t+4)+1 都是素数，
则 10 是素数 (30k+1)*2^(4t+4)+1 的原根，
则 10 是素数 (30k+1)^(4r+1)*2^(4t+4)+1 的原根。

若 (30k+7) 与 (30k+7)*2^(4t+4)+1 都是素数，
则 10 是素数 (30k+7)*2^(4t+4)+1 的原根，
则 10 是素数 (30k+7)^(4r+1)*2^(4t+4)+1 的原根。

若 (30k+11) 与 (30k+11)*2^(4t+5)+1 都是素数，
则 10 是素数 (30k+11)*2^(4t+5)+1 的原根，
则 10 是素数 (30k+11)^(4r+1)*2^(4t+5)+1 的原根。

若 (30k+23) 与 (30k+23)*2^(4t+5)+1 都是素数，
则 10 是素数 (30k+23)*2^(4t+5)+1 的原根，
则 10 是素数 (30k+23)^(4r+1)*2^(4t+5)+1 的原根。

若 (30k+13) 与 (30k+13)*2^(4t+6)+1 都是素数，
则 10 是素数 (30k+13)*2^(4t+6)+1 的原根，
则 10 是素数 (30k+13)^(4r+1)*2^(4t+6)+1 的原根。

若 (30k+19) 与 (30k+19)*2^(4t+6)+1 都是素数，
则 10 是素数 (30k+19)*2^(4t+6)+1 的原根，
则 10 是素数 (30k+19)^(4r+1)*2^(4t+6)+1 的原根。

蔡家雄

求 \(x^2 - (n^2 -2)*y^2=1\) 的最小解

则 \(x=n^2 -1 , y=n\) .

求 \(x^2 - (n^2+2)*y^2=1\) 的最小解

则 \(x=n^2+1 , y=n\) .

求 \(x^2 - ((2n)^2 -4)*y^2=1\) 的最小解

则 \(x=2*n^2 -1 , y=n\) .

求 \(x^2 - ((2n)^2+4)*y^2=1\) 的最小解

则 \(x=2*n^2+1 , y=n\) .

求 \(x^2 - ((2n+1)^2 -4)*y^2=1\) 的最小解

则 \(x=(2n+1)*(2n*(n+1) -1) , y=2n*(n+1)\) .

求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2=1\) 的最小解

则 \(x=2*((2n+1)^2+4)*(2n^2+2n+1)^2 -1\) ,

     \(y=(4n+2)*(n^2+(n+1)^2)*(n^2+(n+1)^2+1)\) .


用公式法求解特殊佩尔方程

设 \(p=4k+1\) 是素数，

求 \(x^2 - p*y^2=1\) 的最小解，

设 \(x=2p*r^2 -1\) , 求 最小的 \(r=?\) ,

使 \(y=((2p*r^2)*(2p*r^2 -2)/p)^{1/2}\) 是整数。

推论：此时，

设 \(p=4k+1\) 是素数，

求 \(x^2 - p*y^2= -1\) 的最小解，

得 \(y=r\) ,  \(x=((2p*r^2)*(2p*r^2 -2)/p)^{1/2}/(2*r)\) .


设 \(d=8k+3\) 是素数，

求 \(x^2 - d*y^2=1\) 的最小解，

设 \(x=d*r^2 -1\) , 求 最小的 \(r= ?\)

使 \(y=((d*r^2)*(d*r^2 -2)/d)^{1/2}\) 是整数。

设 \(d=8k+7\) 是素数，

求 \(x^2 - d*y^2=1\) 的最小解，

设 \(x=d*r^2+1\) , 求 最小的 \(r= ?\)

使 \(y=((d*r^2)*(d*r^2+2)/d)^{1/2}\) 是整数。


设 p=4k+1 是质数，

则 x^2 - p*y^2= ±p 都有解，并求出它的的最小解，

5 , [5 , 2] , [20 , 9]
13 , [65 , 18] , [2340 , 649]
17 , [17 , 4] , [136 , 33]
29 , [377 , 70] , [52780 , 9801]
37 , [37 , 6] , [444 , 73]
41 , [205 , 32] , [13120 , 2049]
53 , [1325 , 182] , [482300 , 66249]
61 , [232105 , 29718] , [13795392780 , 1766319049]
73 , [9125 , 1068] , [19491000 , 2281249]
89 , [4717 , 500] , [4717000 , 500001]
97 , [55193 , 5604] , [618603144 , 62809633]

由 两个 x 都是 p 的倍数，可以用公式法求解此方程，

由 x^2 - p*y^2=±1 可以推导出 x^2 - p*y^2=±p 的最小解。


设 \((4k+1)\) 和 \((8k+3)\) 都是质数，

若 \(x^2 - (4k+1)*y^2 = ±(8k+3)\) ,

则 \(x^2 - (4k+1)*y^2 = ±(8k+3)\) 必有正整数解和通解公式。



求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2=1\) 的最小解

则 \(x=2*((2n+1)^2+4)*(2n^2+2n+1)^2 -1\) ,

     \(y=(4n+2)*(n^2+(n+1)^2)*(n^2+(n+1)^2+1)\) .


求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2= -1\) 的最小解

则 \(x=(2n+1)*((2n+1)^2+3)/2\) , \(y=((2n+1)^2+1)/2\) .


求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2=±((2n+1)^2+4)\) 的最小解

\((2n+1)^2+4=5, 13, 29, 53, 85, 125, 173, 229, 293, 365, ..... \)

(5 , [5 , 2] , [20 , 9])
(13 , [65 , 18] , [2340 , 649])
(29 , [377 , 70] , [52780 , 9801])
(53 , [1325 , 182] , [482300 , 66249])
(85 , [3485 , 378] , [2634660 , 285769])
(125 , [7625 , 682] , [10400500 , 930249])
(173 , [14705 , 1118] , [32880380 , 2499849])
(229 , [25877 , 1710] , [88499340 , 5848201])
(293 , [42485 , 2482] , [210895540 , 12320649])
(365 , [66065 , 3458] , [456905540 , 23915529])


求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2=((2n+1)^2+4)\) 的最小解，

则 \(x=(n^2+(n+1)^2)*((2n+1)^2+4)\) ,  \(y=2*((n+1)(n^2+(n+1)^2) - n^2)\) .


求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2= - ((2n+1)^2+4)\) 的最小解，

则 \(x=2*(n^2+(n+1)^2)*((2n+1)^2+4)*(2*((n+1)(n^2+(n+1)^2) - n^2))\) ,

    \(y=(n^2+(n+1)^2)*((2n+1)^2+4)*((2n+1)^2+1) -1\) .

蔡家雄

杨辉三角中的素性判定

若 C(2*n, n)  ≡ 2 （mod   n^2）, 则 n 一定是素数。


设 n >= 5,
若 C(n^2, n)  ≡ n  (mod   n^5）, 则 n 一定是素数。


杨辉三角中的素性判定

若 \(C_{2*n}^{n}  ≡ 2\) \((mod\)   \(n^2)\), 则 \(n\) 一定是素数。


设 \(n >= 5\),
若 \(C_{n^2}^{n}  ≡ n\) \((mod\)   \(n^5)\),  则 \(n\) 一定是素数。



蔡氏完全循环节等差九生素数有无穷多组

10是如下等差9生素数(公差9240)的原根，即：这些素数倒数具有最大循环节长！！！

1---(95339,104579,113819,123059,132299,141539,150779,160019,169259)

2---(7827167,7836407,7845647,7854887,7864127,7873367,7882607,7891847,7901087)

3---(9195167,9204407,9213647,9222887,9232127,9241367,9250607,9259847,9269087)

4---(32288903,32298143,32307383,32316623,32325863,32335103,32344343,32353583,32362823)

5---(59941697,59950937,59960177,59969417,59978657,59987897,59997137,60006377,60015617)

6---(72980177,72989417,72998657,73007897,73017137,73026377,73035617,73044857,73054097)

7---(77003567,77012807,77022047,77031287,77040527,77049767,77059007,77068247,77077487)

8---(121526753,121535993,121545233,121554473,121563713,121572953,121582193,121591433,121600673)

9---(121535993,121545233,121554473,121563713,121572953,121582193,121591433,121600673,121609913)

10---(171184589,171193829,171203069,171212309,171221549,171230789,171240029,171249269,171258509)

11---(194416847,194426087,194435327,194444567,194453807,194463047,194472287,194481527,194490767)

12---(216760967,216770207,216779447,216788687,216797927,216807167,216816407,216825647,216834887)

13---(216770207,216779447,216788687,216797927,216807167,216816407,216825647,216834887,216844127)

14---(216779447,216788687,216797927,216807167,216816407,216825647,216834887,216844127,216853367)

15---(229140029,229149269,229158509,229167749,229176989,229186229,229195469,229204709,229213949)

16---(242125979,242135219,242144459,242153699,242162939,242172179,242181419,242190659,242199899)

17---(258061109,258070349,258079589,258088829,258098069,258107309,258116549,258125789,258135029)

18---(340517447,340526687,340535927,340545167,340554407,340563647,340572887,340582127,340591367)

19---(340526687,340535927,340545167,340554407,340563647,340572887,340582127,340591367,340600607)

20---(340535927,340545167,340554407,340563647,340572887,340582127,340591367,340600607,340609847)

21---(491843873,491853113,491862353,491871593,491880833,491890073,491899313,491908553,491917793)

22---(572317847,572327087,572336327,572345567,572354807,572364047,572373287,572382527,572391767)

23---(598443353,598452593,598461833,598471073,598480313,598489553,598498793,598508033,598517273)

24---(719978783,719988023,719997263,720006503,720015743,720024983,720034223,720043463,720052703)

25---(789954829,789964069,789973309,789982549,789991789,790001029,790010269,790019509,790028749)

26---(950955623,950964863,950974103,950983343,950992583,951001823,951011063,951020303,951029543)

蔡家雄

判定梅森质数的卢卡斯序列

卢卡斯级数的通项公式

Ln=Round[((1+√3)/√2)^(2^n )/2]

L1=2,
L2=7,
L3=97,

L4=18817=(2^5 -1)(2^5*19 -1)=31*607 = 两个梅森质数的乘积，

并且：2^31 -1 与 2^607 -1 同为素数。

即有：2^30*(2^31 -1) 与 2^606*(2^607 -1) 都是 完全数。

L5=708158977,

L6=1002978273411373057

   =(2^7 -1)(2^7*61698958748239 -1)

   =127*7897466719774591 = 两个梅森质数的乘积，

已证：127 和 7897466719774591 都是素数，

已证：2^127 -1 是素数，据此 7897466719774591 是梅森素数，

即有：2^126*(2^127 -1) 是完全数，

以及：2^7897466719774590*(2^7897466719774591 -1) 是 完全数。

蔡家雄

蔡氏偶数分拆

设 2n >=64，且 p1, p2=2n -p1, p3=2n -p1 -30 , p4=p1+30 都是素数，

则 2n -30=p1+p3 , 2n=p1+p2=p3+p4 , 2n+30=p2+p4 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4)解。

蔡氏偶数分拆

设 2n >=280，且 p1, p2=2n -p1, p3=2n -p1 -210 , p4=p1+210 都是素数，

则 2n -210=p1+p3 , 2n=p1+p2=p3+p4 , 2n+210=p2+p4 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4)解。


哥猜之蔡氏四素数解

设 2n+15 >=49，且 p1, p2, p3=2*p2 -15, p4=2*p2+15 都是素数，

则 2n=p1+p3 与 2n+15=p1+2*p2 及 2n+30=p1+p4 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4)解。

蔡氏四素数解是偶数哥猜与奇数哥猜合二为一的素数解。


哥猜之蔡氏四素数解

设 2n+105 >=169，且 p1, p2, p3=2*p2 -105, p4=2*p2+105 都是素数，

则 2n=p1+p3 与 2n+105=p1+2*p2 及 2n+210=p1+p4 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4)解。

蔡氏四素数解是偶数哥猜与奇数哥猜合二为一的素数解。



同邻距的三生素数，

且前一组三生素数之和是后一组三生素数的首项，

最小解：p=7，  ( p, p+30, p+100 ) 与 ( 3p+130, 3p+160, 3p+230 )

最小解：p=11，( p, p+20, p+120 ) 与 ( 3p+140, 3p+160, 3p+260 )

最小解：p=13，( p, p+10, p+30 ) 与 ( 3p+40, 3p+50, 3p+70 )

最小解：p=17，( p, p+150, p+560 ) 与 ( 3p+710, 3p+860, 3p+1270 )

最小解：p=19，( p, p+40, p+180 ) 与 ( 3p+220, 3p+260, 3p+400 )

最小解：p=23，(  p, p+20, p+90 ) 与 ( 3p+110, 3p+130, 3p+200 )

最小解：p=23，(  p, p+30, p+260 ) 与 ( 3p+290, 3p+320, 3p+550 )

最小解：p=29，( p, p+30, p+80 ) 与 ( 3p+110, 3p+140, 3p+190 )

最小解：p=29，( p, p+30, p+110 ) 与 ( 3p+140, 3p+170, 3p+250 )

最小解：p=29，( p, p+30, p+740 ) 与 ( 3p+770, 3p+800, 3p+1510 )

最小解：p=31，( p, p+30, p+160 ) 与 ( 3p+190, 3p+220, 3p+350 )

最小解：p=31，( p, p+30, p+490 ) 与 ( 3p+520, 3p+550, 3p+1010 )

最小解：p=37，( p, p+30, p+520 ) 与 ( 3p+550, 3p+580, 3p+1070 )

最小解：p=37，( p, p+30, p+1150 ) 与 ( 3p+1180, 3p+1210, 3p+2330 )

最小解：p=41，( p, p+20, p+150 ) 与 ( 3p+170, 3p+190, 3p+320 )

最小解：p=43，( p, p+30, p+250 ) 与 ( 3p+280, 3p+310, 3p+530 )

最小解：p=47，( p, p+80, p+270 ) 与 ( 3p+350, 3p+430, 3p+620 )

最小解：p=53，( p, p+30, p+620 ) 与 ( 3p+650, 3p+680, 3p+1270 )

最小解：p=59，( p, p+30, p+350 ) 与 ( 3p+380, 3p+410, 3p+730 )

最小解：p=61，( p, p+40, p+600 ) 与 ( 3p+640, 3p+680, 3p+1240 )

最小解：p=67，( p, p+30, p+400 ) 与 ( 3p+430, 3p+460, 3p+830 )

最小解：p=71，( p, p+30, p+920 ) 与 ( 3p+950, 3p+980, 3p+1870 )

最小解：p=73，( p, p+30, p+1420 ) 与 ( 3p+1450, 3p+1480, 3p+2870 )

最小解：p=79，( p, p+30, p+280 ) 与 ( 3p+310, 3p+340, 3p+590 )

最小解：p=83，( p, p+30, p+290 ) 与 ( 3p+320, 3p+350, 3p+610 )

最小解：p=89，( p, p+60, p+2450 ) 与 ( 3p+2510, 3p+2570, 3p+4960 )

最小解：p=97，( p, p+60, p+880 ) 与 ( 3p+940, 3p+1000, 3p+1820 )

这种 同邻距的三生素数 有 无限多组 ！！！


三连同邻距的三生素数，

且前一组三生素数之和是后一组三生素数的首项，

(222337, 222367, 222437) 与 (667141, 667171, 667241) 及 (2001553, 2001583, 2001653)

(5021, 5171, 5581) 与 (15773, 15923, 16333) 及 (48029, 48029, 48179, 48589)

蔡家雄

π φ Σ  Φ  Ω  Γ ± ∞ ≠ ~ × ÷ ≤ ≥  ≈ ≡ √  ° ∈ ← ↑ → ↓  θ   ‖  ≌  ∴  ∵ ∥ α β θ ⊥ ∥  ∠  ⌒ ⊙  ≌  △
∏    ∑   ∕   ∝  ∟ ∠    ∣   ∥   ∧   ∨   ∩   ∪   ∫   ∮

\(n^3+b^3+c^3= (c+3k)^3\) 隐藏的特殊解公式

\(n^3+(3n^2+2n+1)^3+(3n^3+3n^2+2n)^3 = (3n^3+3n^2+2n+1)^3\)

\(n^3+[n(9*k^3 -1)]^3+[n(9*k^4 -3k)]^3 = [n(9*k^4)]^3\)

\((n^2)^3+(2n^2 -3n+3)^3+(n^3 -2n^2+3n -3)^3=(n^3 -2n^2+3n)^3\)

\((n^2)^3+(2n^2+3n+3)^3+(n^3+2n^2+3n)^3=(n^3+2n^2+3n+3)^3\)

\((3n^2)^3+(6n^2 -3n+1)^3+(9n^3 -6n^2+3n -1)^3=(9n^3 -6n^2+3n)^3\)

\((3n^2)^3+(6n^2+3n+1)^3+(9n^3+6n^2+3n)^3=(9n^3+6n^2+3n+1)^3\)

\((3n^2)^3+(27n^4+6n^2+1)^3+(81n^6+27n^4+6n^2)^3=(81n^6+27n^4+6n^2+1)^3\)


\(2n^3+((6n)k^2)^3+((6n)k^3 -n)^3=((6n)k^3+n)^3\)


【质数立方是三质数立方之和 的完美立方数】

设 P^3=A^3+B^3+C^3，其中 P, A, B, C 都是质数，

且 A^3=a1^3+a2^3+a3^3，B^3=b1^3+b2^3+b3^3，C^3=c1^3+c2^3+c3^3 均为正整数解，

8000以内 P, A, B, C 均为素数的组合，由 Treenewbee 程序计算，

709 = [193, [25, 68, 190]] + [461, [5, 86, 460]] + [631, [120, 207, 622]]

2767 = [103, [12, 31, 102]] + [2179, [108, 235, 2178]] + [2213, [1238, 1373, 1852]]


【质数立方是至少两组三质数立方之和 的完美立方数】

设 P^3=A^3+B^3+C^3 = D^3+E^3+F^3，其中 P, A, B, C, D, E, F 都是质数，

且 A^3=a1^3+a2^3+a3^3，B^3=b1^3+b2^3+b3^3，C^3=c1^3+c2^3+c3^3 均为正整数解，

及 D^3=d1^3+d2^3+d3^3，E^3=e1^3+e2^3+e3^3，F^3= f1^3+f2^3+ f3^3 均为正整数解，

由 Treenewbee 程序计算，

33199^3=2833^3+19081^3+30941^3=15187^3+24197^3+26647^3

( 2833 , 3, [450, 2001, 2446], [744, 2001, 2428], [1362, 2001, 2302])
(19081, 3, [7516, 9033, 17952])
(30941, 3, [7795, 23015, 25691])
(15187, 3, [6960, 7275, 14062])
(24197, 3, [2621, 16408, 21350])
(26647, 3, [14304, 19294, 20655])

49069^3=661^3+37441^3+40343^3=22307^3+37243^3+38119^3

蔡家雄

蔡氏完全循环节问题

若 3^(2n)+2^(2n+1) 是素数，

则 10 是素数 3^(2n)+2^(2n+1) 的原根。

10 是素数 3^2+2^3=17 的原根，
10 是素数 3^4+2^5=113 的原根，
10 是素数 3^6+2^7=857 的原根，
10 是素数 3^12+2^13=539633 的原根，
10 是素数 3^22+2^23=31389448217 的原根，
10 是素数 3^32+2^33=1853028778786433 的原根，
10 是素数 3^36+2^37=150094772735952593 的原根，
10 是素数 3^46+2^47=8862938260389989451257 的原根，
10 是素数 3^80+2^81=147808829414348341167722439464732709953 的原根，
10 是素数 3^154+2^155=29969067287845284806900763424259354345695037325432711901413781193689500137 的原根，
10 是素数 3^236+2^237=39867234790105605031052158475473603885214702979674478224207279045242447503005351752119734009677347787327998900593 的原根，
10 是素数
3^250+2^251=190683748116796615589766511371277507701260429967651126103174761897479526555470283571068048447508517209471538025816027497 的原根，
10 是素数 3^992+2^993=201504468751837621839727977404685926835150439376946832443975059933977838339689818555216935505351023009283611903196552713908086356058621995407002396777618301177811343575418503951721787383304872793005232962627245632571105557936833267194815304366778547765493764740044293673929368039251196446446723938278591809721982615857996114286344721172111746288859733499249290109426007919969472996555103682274449696455944323255567670689270574629521811105681761209036785000603422679143272833 的原根，