张彧典先生的连续颠倒的方法只是对任何平面图4—着色的一种好方法

雷明85639720

张彧典先生的连续颠倒的方法只是对任何平面图4—着色的一种好方法
雷　明
（二○一八年七月二十二日）

1、转型交换与连续颠倒
1、1  张彧典先生的连续颠倒法只是一种非常好的着色方法。
1、2  张先生的“连续颠倒”，敢峰先生的“博弈图论”、“演绎筛法”、“转型演绎”，以及雷明先生的“转型交换”，其实质都是相同的。都是对一个BAB型5—轮构形中的B—D（或B—C）链施行坎泊的颜色交换技术（简称交换），使图由BAB型的5—轮构形转化为DCD（或CDC）型的5—轮构形的过程。以下为了研究方便，把以上这些术语都统一叫做“转型交换”，并用“转型交换”来代替这些术语。每施行一次转型交换，构形的类型就发生一次变化。这样，把坎泊所使用过的可直接空出颜色给待着色顶点的交换，就可以叫做空出颜色的交换。
1、3  转型交换可以从两个方向（逆时针方向和顺时针方向）分别进行，张彧典先生的连续颠倒是按逆时针方向施行的，敢峰先生的二十步转型大演绎是按顺时针方向施行的。而雷明先生的转型交换因为只施行一次，所以哪种方向都是可以施行的。
2、张彧典先生的连续颠倒
2、1  张彧典先生的连续颠倒是在对前一类型的5—轮构形按逆时针方向施行了转型交换后，又连续的对新的5—轮构形施行相同方向的转型交换，最后图一定会变成一个需要选择性的施行转型交换，才可以连续移去两个同色的构形。两个同色移去了，也就空出了颜色，就可以给待着色顶点着上。这就是张先生的连续颠倒法的着色过程。对于任何一个平面图构形，连续颠倒的次数是不会超过二十次的（其证明方法，见另文《5—轮构形着色时最多需要使用多少次坎泊的颜色交换技术(修改稿)》）。
2、2  张先生在连续颠倒的过程中，有很多的机会是可以通过“断链交换”（当BAB型的图中含有通过5—轮B、A、B三个轮沿顶点或C、D两个轮沿顶点的环形的A—B链或C—D链时，交换该环型链内、外的任一条相反色链，就都可以使图中的连通且相交叉的A—C链和A—D链断开，成为非H型的K—构形而可约，这样的交换就叫断链交换）进行可4—着色的，从而可减少大量的颠倒操作。但张先生不去这样做，而是不停的颠倒下去，造成了操作步子繁多的状况。使得本来只需要几次颠倒就可解决问题的图，非得要施行十多次，以至快二十次的连续颠倒。太的麻烦了。
3、敢峰先生的转型演绎
3、1  敢峰先生的转型演绎则是从一个只有两条连通且相交叉链A—C和A—D的BAB型的5—轮最基本的H—构形的模型开始，一边增加顶点或边，一边按照相同的顺时针方向，边施行连续的转型交换，十六次转型交换后，图就变成一个BAB型的5—轮构形，且图中含有包括5—轮B、A、B三个轮沿顶点的A—B环形链的终极图。
3、2  敢峰先生在演绎过程中的每一步，都有两条道路可走；一条道路是构造一个K—构形，直接空出颜色给待着色顶点。但这条道路只能就此结束转型交换，最终不能构造出终极图来。敢峰先生把这一条道路叫做“四色可解线路”；另一条道路是构造一个H—构形，即再次造成图中仍含有两条连通且相交叉的链，仍不能直接空出颜色给待着色顶点的构形。最终却能构造出终极图来。敢峰先生把这一条道路叫做“四色不可解线路”。
3、3  敢峰先生的作法却是：放弃了可以4—着色的四色可解线路，而是专门创造条件，阻碍可4—着色线路的形成，专门设计两条连通且相交叉的链，使图成为不可直接空出任何颜色给待着色顶点的H—构形，走了四色不可解的线路。经过十六次大的转型演绎后，最后才构成功了终极图。
3、4  对该终极图再继续施行一次连续转型交换时，图就成为一个DCD型（或CDC型）的、图中含有包括5—轮A、B两个轮沿顶点的A—B环形链的终极图。如果在此基础上再进行一次转型交换，图就会成为一个ABA型的、图中含有包括5—轮A、B、A三个轮沿顶点的A—B环形链的终极图。若继续转型交换下去，图的类型虽然在BAB型、ABA型、DCD型和CDC型之间转化，但图却总是在含有包括5—轮B、A、B和A、B、A两种三个轮沿顶点和含有包括5—轮A、B两个轮沿顶点的环形的A—B链的终极图间无限的循环着。对终极图继续施行连续的转型交换，每一交换后所得到的图，都是不可直接空出任何颜色给待着色顶点的H—构形。这一情况说明了终极图已经构造完成。
3、5  但敢峰先生的这个终极图也不是不可4—着色的，而是可以通过断链交换进行解决的。因为终极图本身就是一个BAB型的5—轮构形，其中有一条通过5—轮B、A、B三个轮沿顶点的A—B环形链，交换这个环形链内、外的任一条C—D链，都可使图中的A—C和A—D链变得不连通，使图成为K—构形而可约。这就是敢峰先生对BAB型终极图的解决办法。当然，另一个终极图也可以用类似的方法进行了着色。
4、雷明先生的转型交换
4、1  雷明先生的转型交换，只是解决先生的不可免H—构形集中的C类H—构形的着色所采用的办法，而且只是交换一次，只需转型一次，就可以解决问题。雷明先生把H—构形分为三类，以BAB型5—轮构形为倒，A类中含有通过5—轮B、A、B三个轮沿顶点的A—B环形链，B类中含有通过5—轮C、D两个轮沿顶点的C—D环形链，C类中不含有任何环形链。
4、2  其A类构形就包括了敢峰先生的BAB型的含有包括5—轮B、A、B三个轮沿顶点的A—B环形链的终极图，以及敢峰先生的ABA型的含有包括5—轮A、B、A三个轮沿顶点的A—B环形链的终极图。其解决的办法也是断链交换法,交换环形的A—B链内、外的任一条C—D链，就可使图中的两条连通且相交叉的A—C链和A—D链，以及B—C链和B—D链断开，使图变成K—构形而可约。敢峰先生对他的这两种终极图的着色也是用的这种方法。这也是张彧典先生Z—换色程序中的一种方法。
4、3  B类构形中也包括了敢峰先生的DCD型（或CDC型）含有包括5—轮A、B两个轮沿顶点的A—B环形链的终极图。其解决的办法也是采用断链交换法,交换A—B环形链内、外的任一条C—D相反链，也都可以使图中的两条连通且相交叉的C—A和C—B链，以及D—A链和D—B链断开，使图变成K—构形而可约。敢峰先生对他的这两种终极图的着色也是用的这种方法。这也是张彧典先生Z—换色程序中的另一种方法。
4、4  C类构形中没有环形链，四种颜色可能构成的六种链中，A—C、A—D、A—B、C—D四种链都不可能进行交换，现就只能交换B—C或B—D链了，进行转型了。这就与敢峰先生构造终极图的转型演绎方法，与张彧典先生的连续颠倒着色方法，都是同样的方法，只是敢峰先生与张彧典先生是用了多次连续的转型，而雷明先生只是只用一次转型。
4、5  对于C类构形，无论是施行逆时针转型交换，还是施行顺时针转型交换，施行转型交换后，都可能有两种结果：一种是使图转化成可以同时移去两个同色B的K—构形而直接可约；另一种是使图转化成B类H—构形，再按B类H—构形的解决办法，用断链交换法去解决。雷明先生从C类构形中分出来的D类构形，需要行施行两次转型交换，使图变成C类构形，再按C类构形的解决办法去解决。C类构形转型交换不会超过三次，加上这里的由D类构形转化为C类构形的两次转型交换，总共只有五次，距离二十次还差得很远。
4、6  这三种构形，在敢峰先生构造终极图的过程中都已遇到，但敢峰先生为了构造终极图，在终极图未形成之前，是没有直接解决这些图的4—着色问题的，而是采取了再次制造含有两条连通且相交叉的链的办法，使图成为解四色不可解的线路图。这三种构形，在张彧典先生的连续颠倒过程中，也都是常遇到的，但张先生并没有就简的去解决，而是多余的施行了多次的连续颠倒。
4、7  雷明先生的这三类构形构成的H—构形的不可免集可以证明是完备的。对于经过BAB型5—轮构形的轮沿顶点B、A、B构成的A—B链和C、D顶点的C—D链来说，只可能是一条是环形的（另一条是非环形的）；或两条都不是环形的；或两条都是环形的，但不相交叉（因为A—B链和C—D链是两条相反的色链，是不可能相互穿过的）。而两条都是环形的这一情况，已分别包含在只有一条是环形的类型之内了。所以A—B链和C—D链了除此三种相互关系外，就再也没有别种形式的相互关系情况存在了。所以由这三类构形构成的H—构形的不可免集是完备的。
5、敢峰先生的转型演绎和张彧典先生的连续颠倒间的联系
5、1  张彧典先生的连续颠倒，可以从逆时针方向和顺时针方向两个方向分别施行，而敢峰先生的转型演绎也是可以从逆时针方向和顺时针方向两个方向进行的。张先生的连续颠倒中，图始终是不变的，只是着色在变动，并且是可逆的。给待着色顶点着上颜色后，还可以逆向颠倒再返回原来出发点的构形；而敢峰先生的转型演绎则不但着色在变，图也在变，且是不可逆的。终极图形成后，不可能再逆向转型反回到原来出发点的H—构形的最基本模型。终极图无论从那个方向施行转型交换，都是一个无限循环的构形。对终极图的每四次转型都是构形类型（如构形从BAB型又循环至BAB型）的小循环, 每五次转型也都是构形峰点位置（如构形峰点位置由顶点2又循环至顶点2）的小循环，每二十（4×5＝20）次转型，则是构形由峰点在顶点2的BAB型构形，再次循环至峰点仍在顶点2的BAB型构形的大循环，也即着色的大循环。
5、2  可以说，张先生的连续颠倒是一个静态的过程；而敢峰先生的转型演绎则是一个动态的过程，每演绎一步，都既可四色可解，又可四色不可解。当演绎到四色不可解形成了无穷的循环时，就构造成功了终极图。但终极图又可通过断链交换而最终成为四色可解。如果把敢峰先生的终极图按原转型的逆向再转型，就必须把图中的边和顶点按原来的相反方向再一次次的减少，才能返回到原出发点的H—构形的最基本模型。否则，不这样做，敢峰先生的转型演绎就是不可逆的。
5、3   敢峰先生在构造终极图的过程中，实际上只施行了十六次转型交换，就完成了终极图的构造，但为什么敢峰先生却说是二十步大演绎呢，这是因为第十六步演绎只是得到了BAB型的构形，但构形的峰点并没有在最开始演绎时BAB型的峰点位置上，所以就再进行了四次演绎，才使得构形（四次演绎后的构形仍是BAB型）的峰点，循环到最开始演绎时的H—构形的最基本模式的峰点所在的顶点2上。所以敢峰先生才说他是进行了二十步大演绎的。
6、综合分析与评述
6、1  从以上各条中可以看出，敢峰是走了宏观调控的道路，从哲学的观点，谈方法论和认识论，在动态中构造了证明四色猜测中的终极图，并且解决了终极图的4—着色问题。是从宏观上、动态的证明了四色猜测是正确的。而雷明先生则是从宏观上对构形进行了分类，又从微观上证明了每一类构形都是可约的。是从半宏观、半微观上证明了四色猜测是正确的。
6、2  张彧典先生的连续颠倒（转型交换）法，只能说是一种着色的好方法，而不是四色猜测的证明方法。因为它可以不管图是K—构形，还是H—构形，也不管图是雷明先生的A、B、C那一类的H—构形，都可以按一个方向的连续施行颠倒，最后都一定可以空出图中已用过的四种颜色之一，给待着色顶点着上。颠倒的总次数也一定是不会大于二十次的（关于它的证明，见另文《5—轮构形着色时最多需要使用多少次坎泊的颜色交换技术(修改稿)》）。
6、3  为什么说张先生的连续颠倒法不是证明四色猜测的方法呢，一是按张先生对构形的分类方法，不能证明最多需要颠倒的次数是多少次，才可以给待着色顶点空出颜色而着上；二是各构形没有明显的特征，也没有一个代表的构形；另外，任意给一个图，根本看出，也确定不了该图是属于要颠倒多少次的构形，而必须实际的施行颠倒操作后才能得出结论。但在这个时候，就是知道了这个图是属于那一种颠倒次数的构形，还有什么用呢，图不是已经都进行了4—着色了嘛。这不就成了马后炮了吗，知道它还有什么用呢。
6、4  而且也不可能把所有的图都一个个的施行颠倒，一个个的确定其道底是属于那一种颠倒次数的构形。能把所有的图都颠倒完吗，不能。但是不颠倒完，就不可能知道未颠倒过的图是那一种颠倒次数的构形。这就产生了矛盾。所以连续颠倒是不能证明四色猜测的。但它的确又是一种对任何平面4—图着色的好方法。
6、5  因此，只能说张先生的方法只是从微观上说明了任何平面图都是可以4—着色的，但绝不是证明，也不能说明四色猜测就是正确的。因为这种方法还是属于穷举法之类，穷举法是不可能把无穷无尽的平面图都着色完的。所以不能用这种方法来证明四色猜测，只能用来对平面图的着色。
6、6  可以说，敢峰先生是从宏观上证明了四色猜测是正确的；雷明先生是从平面图的不可免H—构形的完备性和各不可免构形都是可约的这方面证明了四色猜测是正确的；张彧典先生的颠倒着色法则是从唯观的角度，说明了任何平面图都是可4—着色的，也可以说是对四色猜测的证明，但这种证明属于穷举法，而穷举法和缺点则是不能把无穷平面图都着色完的，所以只能说张彧典先生的连续颠倒法是平面图4—着色的一种好方法。
6、7  现在我认为敢峰先生，张彧典先生，雷明先生，三人的认识是统一的，其基本理论也是相同的，这三人的理论各有各的长处，也各有不足，相互间互相补充就是对四色猜测的一个完美的证明过程。现在，敢峰先生，张彧典先生，雷明先生，这三驾马车可以联起手来，共同的为解决四色问题作出应有的贡献。

雷  明  
二○一八年七月二十二日于长安

注：此文已于二○一八年七月二十六日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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