怎样区分“换色交换”与“转型交换”？——兼论四色猜测的证明

雷明85639720

怎样区分“换色交换”与“转型交换”？
——兼论四色猜测的证明
雷  明
（二○一八年八月十二日）
（图发不上来，请到《中国博士网》上去看原文，那里有图）

1、“换色交换”与“转型交换”的区别
这里所说的“换色交换”就是指笔者以前所说的“空出颜色的交换”。因为在可以连续移去两个同色的构形中，当交换了一个关于同色B的色链时，并不能空出一种颜色给待着色顶点，但的确又使所交换的关于B的链的起始顶点的颜色发生了变化，所以把这种交换叫做“换色交换”比较合适，不仅比“空出颜色的交换”字数少，而且会更确切一些。所以笔者从本文开始改用“换色交换”来代替以前的“空出颜色的交换”一词。
当一个构形中，只交换了一个关于同色B的对角链后，只能移去一个B，但并不生成从另一个B色顶点到其对角顶点的连通链时，还可以从另一个B色顶点起，再交换与其对角顶点颜色构成的对角链，移去另一个B，可连续的移去了两个同色B，把B空了出来给待着色顶点V着上。把这里的第一个关于同色B的交换就叫“换色交换”。
如图1，a中的“九点形”构形，无论先从１B或３Ｂ交换与其对角顶点的颜色所构成的对角链，而从另一个Ｂ色顶点顶点到其对角顶点并不产生连通的对角链（如图１，ｂ和图１，ｄ），这样的交换就是换色交换。再从另一个B色顶点交换与其对角顶点颜色构形的对角链链，就可连续移去两个同色B给待着色顶点V着上（如图1，c和图1，e）。


图2，a的“九点形”构形从1B交换了B—D链后，不产生从3B到5C的连通的B—C链（如图1，b），所以从1B交换的B—D链也是换色交换。再从3B交换了B—C链后，就可以连续移去两个同色B，给待着色顶点V着上（如图1，c）。但先从3B交换B—C链后，却产生了从1B到4D的连通的B—D链（如图1，d）。所以从3B交换的B—C链不是换色交换，而是转型交换。“转型”二字表现在：构形由BAB型的5—轮构形转变成了CDC型的5—轮构形，并且构形由一个可连续移去两个同色B的K—构形，转变成了一个不可空出任何颜色的H—构形。图中不但有连通且交叉的D—A和D—B对角链，且有经过5—轮两个轮沿顶点的环形的A—B链（如图1，d）。
图3的“九点形”构形与图2，a的“九点形”构形正好左、右是相反的，所以该构形从顶点3B交换B—C链时，应是换色交换，构形就是可连续移去两个同色B的K—构形；而若先从顶点1B交换B—D链时，则是转型交换，构形也就由K—构形转变成了H—构形。

图4的“九点形”构形本身就是一个H—构形，这个图本身就是赫渥特图去掉了非关键顶点后的图。图2，a从3B交换了B—C和图3从1B交换了B—D后，所得到的图都是与图4一样类型的H—构形。
2、颜色交换技术的三种用途
坎泊的颜色交换技术有三种用途，即换色，断链和转型。坎泊在证明四色猜测时只使用了有“换色”用途的一种交换，并没有看到他的颜色交换技术还有其他两种用途，也不知道其他两种用途是在什么情况下使用的。所以十一年后当赫渥特构造出了赫渥特图时，他就束手无策，也只得违心的承认他“弄错了”。
在图4的“九点形”H—构形中，有一条经过5—轮的两个轮沿顶点4D和5C的环形的C—D邻角链，分其相反色链A—B为环内、环外互不连通的两部分，至少可以交换经过5—轮的三个轮沿顶点1B、2A和3B的A—B邻角链，可以使A—C和A—D两邻角链的共同起始顶点2的颜色由A变成B，使连通的A—C和A—D对角链都断开，构形成为K—构形而可约（如图5）。这里的交换就表现出了交换的“断链”作用（当然图中还有其他的A—B链是可以断链交换的，如顶点8，这里虽然只有一个顶点，但一个顶点却是链的一种特殊形式）。

就这样非常简单的一个问题，坎泊与赫渥特两个人在当时的一八九○年就没有看得到，且一百年来也没有人能够看到。大家都在想着如何能连续的移去两个同色B，但这个图中的两个同色B却的确是无法连续移去的。到了一九九○年，才有本文的作者雷明先生使用了“断链交换”的方法，得以给赫渥特图进行了4—着色，四色猜测的证明整整地晚到了一百年。虽然赫渥特图的4—着色，不能说明四色猜测就是正确的，但该图的4—着色成功，但却扫清了四色猜测证明道路上的一大障碍。该着色方法曾于一九九二年三月八日，在陕西省数学会的第七次代表大会暨学术交流会上作过学术论文报告。
图4的“九点形”中经过5—轮两个轮沿顶点4D和5C的环形的C—D邻角链，把Ａ—B链分成了互不连通的两部分。而图1，a的“九点形”中却有经过5—轮三个轮沿顶点1B、2A和3B的环形的A—B邻角链，也分C—D链为互不连通的两部分。这时交换经过5—轮两个轮沿顶点4D和5C的C—D邻角链后，因4D和5C两个顶点分别是A—C和A—D对角链的终点，所以交换了这条C—D链后，连通的A—C和A—D对角链也一定都断开了（当然图也还有其他的C—D链是可以断链交换的，如经过顶点6C和7D的C—D链），图也就成为K—构形而可约了（如图6）。图6中虽然仍有连通的A—C和A—D对角链，但这已不是原来的A—C和A—D对角链了，成为实质上并不交叉了的A—C和A—D对角链了。两链中途虽有共同的顶点8A，但这已不是真正意义上的交叉了。

3、H—构形的三种类型及其解决办法
H—构形一定含有连通且交叉的A—C链和A—D链，因为A—C和A—D对角链都是不能交换的，也不能空出A、C、D三色之一给待着色顶点V；该构形也不能连续移去两个同色B，也不可能给待着色顶点空出B来。四种颜色所能构成的六种色链中，剩下来的就只有A—B和C—D两对相反的邻角链是可以交换的了。
而A—B链和C—D链在图中的分布关系只可能存在以下的四种情况：① 只有一条经过5—轮三个轮沿顶点1B、2A和3B的环形的A—B邻角链的A类构形；② 只有一条经过5—轮两个轮沿顶点4D和5C的环形的C—D邻角链的B类构形；③ 任何环形邻角链也没有的C类构形；④ 以上两种环形邻角链都有，但不相交的构形。因为A—B与C—D邻角链是两条相反的色链，所以它们一定是不会相交的。除此四种情况之外，再也没有别的情况了。但第④种情况，又分别属于①和②两种情况，所以不需单独列为一类。因此与①②③种情况所对应的A、B、C三类构形就是H—构形的不可免集，该不可免集是完备的。

A类构形如图7，解决时只要对经过5—轮两个轮沿顶点的C—D邻角链进行断链交换，即可使构形变成K—构形而可约。另外也还有别的C—D链可以断链交换。
B类构形如图8，解决时只要对经过5—轮三个轮沿顶点的A—B邻角链进行断链交换，即可使构形变成K—构形而可约。另外也还有别的A—B链可以断链交换。
C类构形如图9，是两种左右相反的构形，解决时从任一个B色顶点开始进行转型交换，都可使构形转型。转形后的构形有两种可能，一种是成为DCD型或CDC型的可以连续移去两个同色D或C的K—构形；另一种是成为DCD型或CDC型的并含有经过5—轮两个轮沿顶点的环形的A—B邻角链的B类构形。再按B类构形的解决办法去处理就行了。


    图9是C类构形左、右不对称时的情况，而图10却是C类构形在有一条A—B链为对称轴时的情况（这就是1935年美国人Irving Kittell构造的对称地图的对偶图）。这种构形需要比不对称的C类构形多进行两次转型交换，先使构形转化成非对称的C类构形。再按不对称的C类构形的解决办法去处理就行了。
图11是两个既含有经过5—轮三个轮沿顶点的环形的A—B邻角链，又含有经过5—轮两个轮沿顶点的环形的C—D邻角链的构形的例图，同样也可以分别用交换5—轮的邻角链C—D和A—B进行解决。

4、四色猜测是正确的
所有的H—构形的不可免构形都已经是可约的了，加上坎泊已经证明过了的所有K—构形也都是可约的，所以四色猜测也就得到证明是正确的。

雷  明
二○一八年八月十二日于长安

注：此文已于二○一八年八月十三日在《中国博士网》上发一月过，网址是：

雷明85639720

，，，，，，，，

雷明85639720

，，，，，，，

wangyangke

雷明85639720说得对：wangyangke ，你真无耻！