有趣的问题

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1：一个数，前一位能被1整除，前两位能被2整除，前三位能被3整除……这个数最长能写几位？（例：10200056405）
2：一个数，前一位能被2整除，前两位能被3整除，前三位能被4整除……这个数最长能写几位？（例：21204405096）

王守恩

能再来几个例子?

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王守恩 发表于 2018-8-24 13:30
能再来几个例子?

1：3816547290608
2：4285824301206084660

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子，可供参考：

题 abcdefghi 是由 1～9 组成的无重复数字的九位数，前 k 位是 k 的倍数，求这九位数。

解  因为 ab,abcd,abcdef,abcdefgh 都是偶数的倍数，所以 b,d,f,h 都必定是偶数。

    其余 5 个数字 a,c,e,g.i 都必定是奇数。因为 abcde 是 5 的倍数，所以 e 必定是 5 。

    因为 abc,abcdef,abcdefghi 都是 3 的倍数，所以它们的各位数字之和也是 3 的倍数。

    将它们 3 位 3 位拆开来，可知 abc,def,fgh 的各位数字之和分别都是是 3 的倍数。

    因为 abcd 是 4 的倍数，所以 cd 必定是 4 的倍数，考虑到 c 是奇数，cd 只可能是

    12，32，72，92，16，36，76，96 。

    因为 abcdefgh 是 8 的倍数，所以 efg 必定是 8 的倍数，考虑到 e 是偶数，f 是奇数，

    fg 只可能是 32，72，16，96 。

    综合考虑以上列出的各项条件，只有下列 7 种情况：

    147258963，183654729，189654723，381654729，741258963，981654327，987654321。

    再考虑 abcdefg 是 7 的倍数这一条件，在上述 7 种情况中，唯一符合要求的只有：

                          381654729 。

    所以，本题要求的九位数就是 381654729 。