对a＞b＞c＞d＞0有 loga/b(2018)+logb/c(2018)+logc/d(2018)≥kloga/d(2018)，求 maxk

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

波斯猫猫

新题：对a＞b＞c＞d＞0有l oga/b(2018)+logb/c(2018)+logc/d(2018) ≤kloga/d(2018)恒成立，求 mink.
提示：由loga/b(2018)+logb/c(2018)+logc/d(2018)≥kloga/d(2018)，根据换底公式有
k≥lg（a/d）/lga/b+ lg（a/d）/lgb/c+ lg（a/d）/lgc/d.
令a/b=x，b/c=y，c/d =z，a/d=r，则xtz=r且x＞1，y＞1,z＞1，r＞1.
即k≥lg（a/d）/lga/b+ lg（a/d）/lgb/c+ lg（a/d）/lgc/d
      = lgr/lga/b+ lgr/lgb/c+ lgr/lgc/d
      =（lgx+lgy+lgz）/lgx+（lgx+lgy+lgz）/lgy+（lgx+lgy+lgz）/lgz
      =3+lgy/lgx+ lgx/lgy+lgz/lgx+ lgx/lgz +lgz/lgy+ lgy/lgz
      ≥9（当且仅当x=y=z时等号成立），即k≥9。

luyuanhong

谢谢楼上 波斯猫猫 的解答。下面是此题的详细解答过程：