三次方程解题[涉及复数计算 ]

shuxuestar

我前面发的阿基米德的帖子有一没有完成的题目

试着解出数据.............


角3a=b；三角方程为：

sin3a=3sina-4(sina)^3=sinb；

令：sina=x；

4x^3-3x+sinb=0；

现解sin10度：

sin30°=1/2；sin10°=x；

x^3-3x/4+1/8=0；

p=-3/4；q=1/8；

△=(q/2)^2+(p/3)^3=1/256-1/64=-3/256<0;(三个实数根）

sin10度的问题（同类等同于sin20度问题）



这个题解涉及开三次方复数 前面没有算出来..........

shuxuestar

参考复数开方计算 应该如下计算

x^n=c；

x=(r^1/n)(cos（a/n+2kπ/n)+isin（a/n+2kπ/n)); k=0，1，2.......n-1；

第一个根为：(r^1/n)(cos（a/n)+isin（a/n));

c=r（cosa+isina)    对应复平面的实数与复数都适用.................

shuxuestar

先试着计算第一个实数根：

x1=(-q/2+√△ )^1/3+(-q/2-√△ )^1/3  =(-1/16+√△ )^1/3+(-1/16-√△ )^1/3；

△=-3/256<0；

√△=√-3/256=  i√3/16；

x1= (-1/16+ i√3/16 )^1/3+(-1/16- i√3/16 )^1/3；

=（1/16）^1/3   [(-1+ i√3 )^1/3+(-1- i√3 )^1/3]；

这里是复数开三次方 需前面的公式计算开方

shuxuestar

计算复数开方：

(-1+ i√3 )^1/3

既：

x^3=-1+i√3=r（cosa+isina）=2（-1/2+i√3/2）=2（cos120+isin120）；

x^3=2（cos120+ isin120）；

r=2; a=120;

x1-n=2^（1/n）(（cos(120/n+360k/n)+isin(120/n+360k/n)）；k=0，1，2.......n-1；


x1-3=2^1/3(（cos(40+120k)+isin(40+120k)）

可见这个复数开方出现了40度的问题 10的偶数次方倍.........

shuxuestar

所以这也可以算一个难题了 因为计算机也算的是复数开方.........

稍后再用别的三次解法解此题  试着避免这个根式........

simpley

三次方程的根x1=4cos40

simpley

当三个根都为实数时，可先把虚数化简掉，好算一些

simpley

其实我认为卡当公式很简洁实用，不知为什么要搞个盛金公式。

shuxuestar

shuxuestar

x^3-3x/4+1/8=0；

p=-3/4；q=1/8；

r=1/8;  a=(1/3)arccos(-1/2)=120/3=40

x1=cos40; x2= cos160 ;x3= cos280.


40度与10度是等价问题 所以还是没办法算出来数据..............  卡丹公式也不是万能的

这就需要一些三次解法试试........