一种初等方法证明素数、孪生素数、四胞胎素数无限

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一种初等方法证明素数、孪生素数、四胞胎素数无限
                           齐宸
一、素数个数无限证明
假设P是自然数中最大的素数，并用M1表示P内的素数个数。按此假设在区间P—2P内素数个数M2=0。只要证明M2>0，则素数无限（P—2P区间不含P）。
素数只能被自己和“1”整除。故XY（X>1,Y>1）计算出的数字一定是全体合数，且可以向右、向下排列成双向等差数列形式。而且实质上这个双向等差数列只是由4、6、6、9这4个数字决定的。如图所示：

将计算结果与自然数对应后形成下图，

图中蓝色部分是20以内的素数产生过程。自第1行到第9行共9个等差数列决定了20以内的素数。自第1行到第19行共19个等差数列决定了40以内的素数。
如何通过决定20以内素数个数的前9个等差数列得到21-40之间的素数个数呢？
前文说XY计算结果形成的是向右、向下的双向等差数列。当Y值固定时的计算结果就是向下的等差数列，如下图所示中的黄色数字部分：

上图中第10-19个横向的等差数列，实质上也是向下等差数列的一部分。将这两个等差数列横向放置，如下图所示：

这样这11个等差数列既可以决定20以内素数位置也可以决定21-40之间素数位置。
在这11个等差数列上取1-20及21-40两区间，按照容斥原理分别计算20以内及21-40之间的不同元素个数。因两区间的长度相同、数列相同，则不同元素个数大致相同。
证明：
假设P是自然数中最大的素数，并用M1表示P内的素数个数。按此假设在P—2P区间内素数个数M2=0（P—2P区间不含P）。因为决定1—P以及P—2P区间素数个数的等差数列是相同的。按照容斥原理这两区间数列相同、长度相同，则含有的不同元素个数大致相同（这些不同元素全部不是素数，而除此之外的数字全部是素数）。故两区间的素数个数也会非常相近，这样就有M1≈M2。M1是P之内的素数个数，显然M1≠0，故假设M2=0就是不正确的。M2是一个大于0且接近M1的数字。因此假设不正确。也就是说自然数中不存在最大素数。
二、孪生素数猜想的证明
孪生素数(这里不讨论素数2和5)按照个位可以分为3类：个位为1和3、个位为7和9、个位为9和1。若个位为1和3的这类孪生素数无限，则孪生素数猜想破解。
个位为1和3的这类孪生素数去掉个位后剩余的两个数字是相同的。因此第一类孪生素数中的每一对孪生素数都可以用1个数字表示。如11-13这对孪生素数可以用数字1来表示，101-103也可以用10来表示。这里的关键是去掉个位，形成筛法筛选孪生素数。
两个自然数相乘结果的个位为3只有两种可能，一是两个自然数中的个位分别是1和3，另一种是两个自然数的个位分别是7和9。个位为1和3的两个自然数相乘可以写成(10k+1)*(10i+3)格式。并可转换为10[(10i+1)k+i]+3格式，去掉个位这个公式就成了(10i+3)k+i。同样方法，个位为7和9的两个自然数相乘公式可最终可以写成(10i+7)k+9i+6。
同样也可以得到两个自然数相乘结果个位为1的公式。共有3组，它们是：
(10i+1)k+i、(10i+3)k+7i+2、(10i+9)k+9i+8
这5组公式的计算出的结果全部是1个数字，这些结果不是个位为3的合数就是个位为1的合数。因此可以筛除掉所有个位为1的合数和个位为3的合数，每一个结果在数轴上只能占据一个位置。在一定范围内的计算结果会在数轴上留下一些空位，这些空位所代表的数字填上个位1后一定不是个位为1的合数，填上个位3后也一定不是个位为3的合数。这些空位就是孪生素数的位置。这些数字填上个位1后是素数，填上个位3后仍然是素数。因此它就是一个去掉个位的孪生素数。当然只是个位为1和3的孪生素数。如空位“10”不是孪生素数，在10后面分别填上个位1和3后，就是一对孪生素数101、103。
计算个位为3的合数公式(10i+3)k+i可以得到许多数字，这些数字可以组成很多的等差数列。具体如下：
k依次取1、2、3、4…时
当i=0时，结果为：3、6、9、12…
当i=1时，结果为：14、27、40、53…
当i=2时，结果为：25、48、71、94…
…      …            …
这和证明素数无限时用4、6、6、9产生的双向等差数列是一样的，这里是用3、6、14、27产生的双向等差数列。不过这里需要用5组公式产生的等差数列。似乎比证明素数无限的方法复杂了很多，但实际上在证明素数无限时，并没有指明等差数列具体有多少个。无论等差数列有多少，不影响最终的结果。证明过程与证明素数无限的方法完全相同。
证明：
略（将素数无限证明中的“素数”全部改成“孪生素数”即可）。
三、四胞胎素数猜想的证明
两个数字相乘结果的个位为7或是9的情况与个位1和3的情况相同，它们也是5组，这样就有了10组无个位合数公式。具体如下：
个位为1：(10i+1)k+i、(10i+3)k+7i+2、(10i+9)k+9i+8  
个位为3：(10i+3)k+i、(10i+7)k+9i+6
个位为7：(10i+7)k+i、(10i+3)k+9i+2
个位为9：(10i+9)k+i、(10i+3)k+3i、(10i+7)k+7i+4
这些无个位合数公式同样可以用作筛选相应素数。10组同时使用可以筛选出全体四胞胎素数。如在100（不含0，不含个位）以内使用10组公式可以去掉96个数字，剩余 1、10、19、82四个数字。分别加上个位就是：11-13-17-19、101-103-107-109、191-193-197-199、821-823-827-829四组四胞胎素数。填上个位的这四组数字实际上就是1000以内的所有四胞胎素数。
用这10个合数公式同样是可以产生很多个等差数列，而且也是双向等差数列。这样四胞胎素数猜想就和素数、孪生素数的证明方法完全一样了。
证明：
略（将素数无限证明中的“素数”全部改成“四胞胎素数”即可）。
此外三胞胎素数猜想、五胞胎素数猜想、六素数猜想等等一切涉及素数个数类猜想，都可以用此方法证明是无限的。

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容斥原理在这里起到了关键作用，在假设存在最大的孪生素数P，其P以后是必然不存在孪生素数了。但通过容斥原理可以证明，只这个最大孪生素数之后不但有孪生素数，而且还很多，在P-2P之间大致存在着和1-P之间大致相同数量的孪生素数。而1-P之间的孪生素数个数是已知的，不需证明。

大傻8888888

hbtswjq 发表于 2018-9-6 18:10
容斥原理在这里起到了关键作用，在假设存在最大的孪生素数P，其P以后是必然不存在孪生素数了。但通过容斥原 ...

在P-2P之间大致存在着和1-P之间大致相同数量的孪生素数，但是在nP-(n+1)P之间就不存在着和1-P之间大致相同数量的孪生素数，甚至里面根本没有孪生素数。

大傻8888888

hbtswjq 发表于 2018-9-6 18:10
容斥原理在这里起到了关键作用，在假设存在最大的孪生素数P，其P以后是必然不存在孪生素数了。但通过容斥原 ...

在P-2P之间大致存在着和1-P之间大致相同数量的孪生素数，但是在nP-(n+1)P之间就不存在着和1-P之间大致相同数量的孪生素数，甚至里面根本没有孪生素数。

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大傻8888888 发表于 2018-9-6 22:33
在P-2P之间大致存在着和1-P之间大致相同数量的孪生素数，但是在nP-(n+1)P之间就不存在着和1-P之间大致相 ...

你说的正确，但与我所述没有矛盾。
我没有统计nP-(n+1)P之间是否存在孪生素数。这个数据段也没有意义。你若想了解这一区间段的孪生素数，我倒有一种这样的结果。就是nP-(n+1)P之间与（n+1）P-(n+2)P之间的孪生素数个数是大致一样的。当然，nP-(n+1)P之间若没有孪生素数，则在（n+1）P-(n+2)P之间也是非常可能没有孪生素数的。

hbtswjq

你说的正确，但与我所述没有矛盾。
我没有统计nP-(n+1)P之间是否存在孪生素数。这个数据段也没有意义。你若想了解这一区间段的孪生素数，我倒有一种这样的结果。就是nP-(n+1)P之间与（n+1）P-(n+2)P之间的孪生素数个数是大致一样的。当然，nP-(n+1)P之间若没有孪生素数，则在（n+1）P-(n+2)P之间也是非常可能没有孪生素数的。

hbtswjq

证明的关键有2点，第1个关键是孪生素数可以用一个数字表示，这样就可以设一个数字P为最大的孪生素数。第2个关键点是运用容斥原理证明在假设最大的孪生素数之后还有孪生素数。

大傻8888888

hbtswjq先生，你好！
       x/2*∏(1-2/p)/[2e^(-γ)]^2，（其中2﹤p≤√x）表示x以内孪生素数的个数是我在2011年7月推出的，，从式子里可以明显看出当X趋近无限大时，其中孪生素数的个数也趋近无限大。另外经过天山草网友计算，与实际值比较X越大越接近1。同时我的式子和哈代与李特伍德关于x以内孪生素数的个数的式子经比较可知，两个式子的计算结果相差无几。如有兴趣可以在本论坛搜索“x/2*∏(1-2/p)/[2e^(-γ)]^2，（其中2﹤p≤√x）表示x以内孪生素数的个数，请网友”即可了解详细情况。

hbtswjq

似乎只是个规律。

太平天下

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