微积分不能彻底解决芝诺悖论

门外汉

大约在2500年前，古希腊哲学家、数学家芝诺提出了一系列与无穷相关的悖论，统称为芝诺悖论，困挠了学界长达两千年之久，在哲学界和数学界产生了潜移默化的极大影响。
现在数学界普遍认为，自十七世纪微积分建立以来，已经彻底的解决了芝诺悖论，然而，却仍有一些哲学家坚持认为芝诺悖论及其一些变种仍然是悬而未决的疑难问题，对此，北京大学吴国盛教授曾在他的论文《芝诺悖论今昔谈》（发表于1992年第12期《哲学动态》上）非常中正的评价道：“哲学史上大部分哲学家认为芝诺的结论是荒谬的，其论证有问题。不过，在不断检查其论证毛病的过程中，人们反倒发现了芝诺论辨的深刻之处。常常是人们自以为解决了芝诺悖论，不多久就又发现其实并没有解决。”
笔者认为吴国盛教授的话是非常正确的，现在数学界普遍认为微积分已经彻底解决了芝诺悖论，但若仔细推敲，便会发现解决方法中疑点呈现，仍然存在难以解决的逻辑矛盾，下面就根据芝诺悖论中具有代表性的二分法悖论来具体说明：
二分法悖论是说：物体不能从A运动到B，因为在到达B点之前，必先经过全路程的一半，然后再经过剩余路程的一半，再经过剩余路程的一半……无穷无尽，因此物体不能从A运动到B。
下面建立一个数学模型来具体地说明：
模型一：一个人以每分钟1米的速度匀速从0走到1米，为简化问题，可以将这个人看作是一个质点，那么他在1/2分钟会先走到1/2处，3/4分钟时再走到3/4处，7/8分钟时再走到7/8处，15/16分钟时再走到15/16处……可以看出来，虽然剩下的路程越来越短，但剩余的路程总能无限分割，因此芝诺认为，这个人不能走到终点1米处。
现代微积分学认为这是一个很简单的问题，首先求出运动的总时间S=1/2＋1/4＋1/8＋1/16＋……=1（即时间为有限而不是无限），其次求出运动的总路程L=1/2＋1/4＋1/8＋1/16……=1（路程为有限而不是无限），因此在时间到达1分钟时，这个人恰好走到了1米处，从而完全彻底的解决了二分法悖论。
然尔，这个方法真的能彻底解决二分法悖论吗?我们说，一个问题被完全解决，应该不留有任何的逻辑矛盾，如果在其中隐藏着无法解决的逻辑矛盾，便谈不上是彻底解决。
下面用另一个模型来揭示出其中隐藏的逻辑矛盾：
模型二：仍然是设这个人以每分钟1米的速度从0走到1米处，同样为了简化问题，将他的左脚看作是质点a，右脚看作是质点b，运动开始，当时间为1/2分钟时，他的左脚a走到1/2处，当时间为3/4分钟时，他的右脚b走到3/4处，当时间为7/8分钟时，他的左脚a走到7/8处，当时间为15/16分钟时，他的右脚走到15/16处……
比较一下模型二与模型一，可以知道，这两个模型的运动效果其实是一模一样的，即按微积分的解决方法，当时间为1分钟时，这个人也一定会走到1米处。
现在的问题是：当时间为1分钟时，这个人是左脚a先走到1?还是右脚b先走到1?
对于这个问题，只能有三个备选的答案：（1）：左脚a先走到1;（2）：右脚b先走到1;（3）：双脚同时走到1。
首先分析第（3）个备选答案：双脚同时走到1：因为这个人是双脚交替着向前走的，所以他不能双脚同时到达1，除非是他双脚并拢，一步蹦到终点1的，但这却明显的违反了运动规则，因此可以将备选答案（3）排除。
再来分析备选答案（1）：假设这个人是左脚a先到达1，这意思也就是说，他的右脚b同时间所在的位置一定小于1（否则是双脚同时到达1），设他右脚所在的位置为p，则必有p与1之间的距离大于0，则在p与1之间必然存在一个点q，使得q=（p＋1）/2，且有p＜q＜1，既然他右脚所在的位置为p，那么按照二分法的规则，下一步，他的左脚就应该走到q点而不是终点1，由此产生矛盾。
如果是选择备选答案（2）：这个人的右脚b先到达1，则按照上述的推理，同样能够导出矛盾。
由以上论述可知，在用微积分方法解决芝诺二分法悖论的过程中，产生了隐藏在其内部的逻辑矛盾，如果微积分方法能够解决这个矛盾，则说明它能够彻底解决芝诺悖论，否则，如果它不能解决这个矛盾，则说明它不能够彻底解决芝诺悖论，芝诺悖论仍然是哲学界和数学界难以解决的千年难题。

elim

确切地说，芝诺只有谬论没有悖论。微积分既不不处理没有规定性的东西，也不保持只有有限操作下才有的属性。微积分自有其自身的规律和限制。楼主不必迷信微积分，也推翻不了它。

青山

二分法和追乌龟悖论已经解决了。请看我在《炮轰极限论，正解微积分》中的论述。

二分法：按那种走法，本来就走不到。

追乌龟：在运动的第一阶段，本来就追不上。

只要你不承认 0.999… = 1、不承认“部分等于整体”、不承认所谓的 “极限理论”，这两个事件根本不存在任何悖论。

这两个事例证明了一个哲学命题：物质运动是无限可分的。

jzkyllcjl

第一，等式：1/2＋1/4＋1/8＋1/16＋……=1 不成立，因为：无穷项相加无法进行。第二，成立的 只能是无穷级数1/2＋1/4＋1/8＋1/16＋……的前n项和序列的的极限是1，而且这个极限是这个序列不能达到的极限值。第三，从百度网上孙逐明《芝诺悖论与东西方时空观》中也可以看到以下的论述。“芝诺悖论是西方连续时空观的产物。”这个悖论“诘难了关于时间和空间无限可分，因而运动是连续的观点。”“如果时空是由离散的时段、空间粒子组成，那么阿基里斯不可能追不上乌龟。”这说明：芝诺这个悖论的原意不是为了得出“阿基里斯不可能追不上乌龟”的结论，而是为了诘难“时空无限可分性”的观点。芝诺的二分法悖论也是如此。 从芝诺悖论的这个愿意上讲，需要进一步讨论一下“时空的无限可分性（即时空连续性）”问题（参看下一节）。

elim

芝诺佯谬是建筑在人朴素地要求无穷保持有穷的特性这一深刻的非理性倾向上的。每代人只有锤炼自己的思辨能力才有可能通过芝诺的智力测试，前人的工作或许可以帮助后人加快这个过程，却没有办法代替后人。每一代人中都有智商低下的，具有反理性倾向的，否认理性在某些方面有超越有限践行的可能的，等等等等，这就是为什么吴国盛教授的话结束不了人类对芝诺佯谬的继续思辩，证明不了芝诺的佯谬有任何真理性，推翻不了微积分。门外汉当然也做不到这些。

门外汉再深刻一些，就可以揭示芝诺的荒谬了。毕竟，芝诺的东西在实践面前都不过时泡沫而已。

门外汉

elim 发表于 2018-9-5 16:50
确切地说，芝诺只有谬论没有悖论。微积分既不不处理没有规定性的东西，也不保持只有有限操作下才有的属性。 ...

请问老师，此帖中所描述的左脚与右脚的矛盾可以合理解决吗?

门外汉

青山 发表于 2018-9-5 23:37
二分法和追乌龟悖论已经解决了。请看我在《炮轰极限论，正解微积分》中的论述。

二分法：按那种走法，本 ...

我在此帖中就是要说明：按照芝诺所设定的走法，走不到1，即便是走到了1，也存在难以解决的逻揖矛盾。青山教授以为如何?

门外汉

jzkyllcjl 发表于 2018-9-5 23:41
第一，等式：1/2＋1/4＋1/8＋1/16＋……=1 不成立，因为：无穷项相加无法进行。第二，成立的 只能是无穷级 ...

曹教授所说的芝诺悖论正是诘难了西方时空观（时空是否无限可分）的观点，正是点明了芝诺悖论的本源问题所在，这一点表示赞同。

门外汉

elim 发表于 2018-9-5 23:42
芝诺佯谬是建筑在人朴素地要求无穷保持有穷的特性这一深刻的非理性倾向上的。每代人只有锤炼自己的思辨能力 ...

我现在做的第一步工作就是先把芝诺悖论中隐藏的矛盾彻底暴露出来，请大家一定要正视这个矛盾，不要回避它，数学界应该要有正视矛盾的勇气。

elim

数学界最不缺乏的就是思辨的勇气。楼主须知，你的工作完成得很差，芝诺是怎么忽悠的，你一个也没有揭示出来。