关于旁心三角形的镜照

ccmmjj

如图，三角形ＡＢＣ的旁心三角形ＤＥＦ，Ｐ是任意一点，ＡＰ、ＢＰ、ＣＰ三线分别交ＢＣ、ＡＣ、ＡＢ于Ｈ、Ｉ、Ｇ。
求证：ＤＧ、ＥＨ、ＦＩ三线共点Ｑ，称Ｑ为Ｐ的旁心镜照点。

ccmmjj

利用这个帖子来科普一下射影几何知识。
准备知识1－－单比表示式及塞瓦定理的单比表示式

如图；线段ＢＣ上有一点Ｄ，我们称Ｄ分ＢＣ的比ＢＤ/ＣＤ为单比，记作（ＢＣ，Ｄ）。
类似的，Ｆ分ＡＢ的单比记为（ＡＢ，Ｆ），Ｅ分ＣＡ的单比记作（ＣＡ，Ｅ）。

对这个图来说，用这个记号叙述塞瓦定理就是：
　（ＡＢ，Ｆ）×（ＢＣ，Ｄ）×（ＣＡ，Ｅ）＝１等价于ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ三线共点。

ccmmjj

准备知识２－－交比及交比表示式

如图，线段ＡＢ上有两个分点Ｃ、Ｄ，则两个单比的商（ＡＢ，Ｃ）/（ＡＢ，Ｄ）称为ＡＢ对ＣＤ的交比，
记作（ＡＢ，ＣＤ）。

在直线ＡＢ外任取一点Ｏ向Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ引射线，分别记为１，２，３，４.可以证明
（ＡＢ，ＣＤ）＝sin<1,3>sin<2,4>/sin<2,3>sin<1,4>
其中记<1,3>为射线1，3所交的角，其它类似，如果不做特别说明，这个角是线段ＡＢ内所对，不计方向。
有兴趣的可以自己证明。不想动脑的可以参看相关资料。
假设另一条直线截此四射线于Ｐ、Ｑ、Ｒ、Ｓ四点，由上可知，交比（ＰＳ，ＱＲ）＝（ＡＢ，ＣＤ）。
这就是交比的在投影变换下的不变性

ccmmjj

一般证明
如图，三角形ＡＢＣ边上三点ＤＥＦ，使ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ三线共点。三角形ＤＥＦ边上亦有三点ＧＨＩ，使ＤＩ、ＥＧ、ＦＨ三线共点。
求证：ＢＧ、ＣＨ、ＡＩ亦三线共点。

证明：设ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ分别交三角形ＤＥＦ三边于D',E',F'。ＢＧ、ＣＨ、ＡＩ分别交三角形ＡＢＣ三边于G',H',I'。
交比的在投影变换下的不变性，则有(AB,H'F)=(ED,HF'),   (BC,I'D)=(FE,ID'),  (CA,G'E)=(DF,GE').
于是　(AB,H'F) (BC,I'D)(CA,G'E)=(ED,HF')(FE,ID')(DF,GE')
化为单比，则有
(AB,H') (BC,I')(CA,G')/(AB,F) (BC,D)(CA,E)=(ED,H)(FE,I)(DF,G)/(ED,F')(FE,D')(DF,E')
根据塞瓦定理的单比表示式则有(AB,F) (BC,D)(CA,E)=(ED,H)(FE,I)(DF,G)＝(ED,F')(FE,D')(DF,E')＝1
所以(AB,H') (BC,I')(CA,G')＝1即得ＢＧ、ＣＨ、ＡＩ亦三线共点。
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主帖只是本帖的特殊情况。

ccmmjj

懂的人不多不奇怪。

Ysu2008

以 ccmmjj 先生之才，应该出书，分享、示范高超的几何学技巧。

luyuanhong

楼上 ccmmjj 的帖子很好！我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。