用连续“转型交换”给H—构形着色，交换次数最多一定不会超过二十二次（完善稿）

雷明85639720

用连续“转型交换”给H—构形着色，交换次数最多一定不会超过二十二次
——再与张彧典先生商讨（完善稿）
雷  明
（二○一八年九月十二日）

这里的“转型交换”就是张彧典先生所说的“颠倒”，因为进行了这种“颠倒”后，构形的类型就会发生变化，所以我叫它转型交换。
1、H—构形只有三大类型
张先生在他的《四色猜想中的染色困局构形解析》和《四色猜想中的染色困局构形个数猜想（续）》两文中都有一张图，得到了二十种H—构形和用连续转型交换法最多交换十六次的结论。并且说“染色困局构形的解法与它们的点、边数量无关，只与它们的几何结构、色链数量组合、相交形式有关。”张先生这里的“染色困局”指的就是H—构形。
我认为，张先生的这种结论是与他说的染色困局的解法“只与它们的几何结构、色链数量组合、相交形式有关”的说法是相违背的。看看张先生的二十个构形，从1到15十五个构形解法都是相同的连续转型交换法，但交换的次数各不相同，从2到16各不相等；从17到20的四个构形的交换交数又分别与从1到4的四个构形分别相同；而第16个构形的解法又是单独的所谓Z—换色程序。十在是五花八门，没有一个规律所循。这二十个构形的几何结构，色链数量组合、相交形式各有什么特点，张先生也并没有说呀。
这些构形共同的特点都是有两条连通且相交叉的A—C链和A—D链，且这两条链均不能交换，不可空出A，C，D三色之一；其他的两条B—C链和B—D链虽都不连通，但只要交换其一条时，另一条则就变成了连通的，而不可能连续的移去两个同色B，所以，这两条链也是不能连续交换的。现在，四种颜色所能构成的六种色链，所能进行交换的就只有A—B链和C—D链了。可张先生并没有把他们的特点列举出来。
看来，H—构形就是不可能直接从5—轮轮沿顶点中空出颜色给待着色顶点的构形。这时，我们可否考虑，把连通的A—C链和A—D链断开，使其成为不连通的，破坏其构成H—构形的必要条件，把H—构形变成K—构形呢。这当然是可以的（见下一个问题，“2、三大类型H—构形的解决办法”）。
由于A—B链和C—D链是一对相反的色链，是不可能相交叉的。根据这一特性，它们在图中只可能是：① A—B链是经过5—轮轮沿顶点1B，2A，3B三个顶点的环形链；② C—D链是经过5—轮轮沿顶点4D和5C两个顶点的环形链；③ 这两种环形链都没有的情形；和④ 两种环形链都有（但不相交）的情形。由于第④的情形已分别含在了①和②中了，可不作为单独的一种情况。
请看，张先生的二十个构形，还有以前的八大构形，以及米勒图，赫渥特图等，有哪一个构形或图没有在这三大类型之列呢，哪一个构形或图中没有以上三种情况的A—B链和C—D链之一呢。为什么不把这样重要的特点表现出来呢？如果表现出来，张先生那么多的构形不就都成了三大类型的构形了吗。
2、三大类型H—构形的解决办法
在H—构形的三大类型中，①类和②类都用的是“断链交换”解决问题的，交换了经过5—轮轮沿顶点4D和5C两个顶点的C—D链或交换了经过5—轮轮沿顶点1B，2A，3B三个顶点A—B链，连通的A—C和A—D链都会断开，H—构形就会变成K—构形；③类，上述的两种A—B链和C—D链都不成环形链，不可能用断链交换而是则用“转型交换”解决问题的，交换次数的上界最多不会超过二十二次（见下一个问题，“3、H—构形若用连续转型着色时，最多不会超过二十二次交换”）。以上①②③类，各有各和单独解决办法，形成了一一对应的关系。这不比张先生那二十多个构形更简单方便吗。
张先生的构形集除了以上的十五个外，还有一个第十六，即米勒图。这个图的解决，张先生又专用了一种所谓叫做“Z—换色程序”的办法，而这种办法，正是我们上面所用的断链交换法。Z—换色程序施行的结果，也是把H—构形中的A—C链和A—D链断开了，使图由H—构形变成了K—构形。
张先生的十五个构形，只是从对米勒图进行改变后得到的十九个非十折对称的构形（实际上对米勒图进行改变，可不止只得到这十九个非十折对称的构形）中得到的，这十九个构形中交换次数最多的一个是十六次，张先生就根据这个确定了交换次数的上界是十六，这是不科学的。张先生也并没有证明这一点，所以张先生的构形集是不完备的。另外，还有没有象米勒图那样的H—构形，经过无数次的转型交换，都不可能变成K—构形呢，张先生也没有进行证明这一点。
3、H—构形若用连续转型着色时，最多不会超过二十二次交换
从对敢峰的终极图的转型交换看，二十次交换是一个大循环。看来，对任何一个H—构形，在进行转型交换时，只要在第二十次交换前（包括第二十次），构形能变成可以连续的移去两个同色的K—构形，就不会出现大的循环了。然后，这个可以连续的移去两个同色的K—构形，还要进行两次换色交换，才能完成对该H—构形的着色。所以说，对H—构形若用连续转型着色时，最多是不会超过二十二次交换的。这二十二次就是这样的有科学根据的得来的。
我这里对H—构形的定义是不包括那个可以连续的移去两个同色B的K—构形的。因为该构形中虽然含有两条连通且相交叉的A—C链和A—D链这样的构成H—构形的必要条件，但又是可以同时移去两个同色B的K—构形。然而张先生却把这样的K—构形也是归属于H—构形的。这样，按张先行对H—构形的定义，对H—构形若用连续转型着色时，最多则是不会超过二十三次交换的。
对于任何一个H—构形，既可以按逆时针方向进行连续转型，也可以按顺时针方向连续转型。两个方向进行交换的总次数最大也是不大于二十四次的。若按张先生对H—构形的定义，两个方向进行交换的总次数最大也是不会大于二十五次的。

雷  明
二○一八年九月十二日于长安


注：此文已于二○一八年九月十三日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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