找一个最大的自然数 a ，使得 a^2+1000a+1 是一个完全平方数

Future_maths

找到最大的自然数a，使得a^2+1000a+1是一个平方数。

drc2000再来

设其为b∧2，配方，既(a+500)∧2-b∧2=24999*1=...=501*499
其解最大的a+500=249999
所求为249499

Future_maths

drc2000再来 发表于 2018-9-14 20:26
设其为b∧2，配方，既(a+500)∧2-b∧2=24999*1=...=501*499
其解最大的a+500=249999
所求为249499

做得很漂亮！

drc2000再来

上帖有误，现在修改。
设其为b∧2，配方，既(a+500)∧2-b∧2=24999*1=...=501*499
其解为的a+500+b=249999
                 a+500-b=1
a+500+b=p
a+500-b=q
其中pq是249999的因式
...
a+500+b＝501
a+500-b=499
a=124500  b=124999
a=(p+q)/2-500    b=(p-q)/2
...
a=0  b=1(此根不合，舍去)
所求为a=124500

xfhaoym

当a=249499时,b不是个完全平方数.

luyuanhong

题  找一个最大的自然数 a ，使得 a^2+1000a+1 是一个完全平方数。

解  设 b 是一个自然数，有

    b^2 = a^2+1000a+1 = a^2+1000a+500^2-500^2+1 = (a+500)^2-249999 ，

        (a+500+b)(a+500-b) = (a+500)^2-b^2 = 249999

       = 249999×1 = 83333×3 = 1497×167 = 501×499 。

     从 a+500+b = 249999 ，a+500-b = 1 可解得 a = 124500 ，b = 124999 。

     从 a+500+b = 83333 ，a+500-b = 3 可解得 a = 41168 ，b = 41665 。

     从 a+500+b = 1497 ，a+500-b = 167 可解得 a = 332 ，b = 665 。

     从 a+500+b = 501 ，a+500-b = 499 可解得 a = 0 ，b = 1 。

     可以看出，满足条件的 a 的最大值为  a=124500 ，这时

     124500^2+1000×124500+1 = 14624750001 = 124999^2 。

xfhaoym

还是陆老师的正确,学习了.