《数学分析》VS《高等数学》，该学什么？

永远

注意：转载的文字都来自于数学教授、数学专家。

zz from 饮水思源BBS 下面我谈谈数学分析和高等数学的区别。 数学分析(Mathematical Analysis)是数学专业 的必修课程之一，基本内容是微积分，但是 与微积分有很大的差别。 微积分学是微分学 (Differential Calculus)和积分学(Integral Caculus)的统称，英语简 称Calculus，意 为计算，这是因为早期微积分主要用于天文、力学、几何中的计算问题。 后来人们也将微 积分学称为分析学（Analysis)，或称无穷小分析，专指运用无穷小或无穷 大等极限过程 分析处理计算问题的学问。 早期的微积分，由于无法对无穷小概念作出令人信服的解释， 在很长的一段时间内得不到 发展。柯西（Cauchy）和后来的魏尔斯特拉斯（Weierstrass ）完善了作为理论基础的极限 理论，使微积分逐渐演变为逻辑严密的数学基础学科，被称 为“Mathematical Analysis” ，中文译作“数学分析”。 学好数学分析是学好其他后继 数学课程，如：微分方程，复变函数，实变函数与泛函分析 ，微分几何，计算方法，拓扑 学，测度论，概率论与数理统计等课的必备的基础。 作为学好数学最重要的基础课之一， 数学科学的逻辑性和历史继承性决定了数学分析在数 学科学中举足轻重的地位，数学的许 多新思想，新应用都源于这坚实的基础。数学分析出 于对微积分在理论体系上的严格化和 精确化，从而确立了在整个自然科学中的基础地位， 并运用于自然科学的各个领域。同时 ，数学研究的主体是经过抽象后的对象，数学的思考 方式有鲜明的特色，包括抽象化，逻 辑推理，最优分析，符号运算等。这些知识和能力的 培养需要通过系统、扎实而严格的基 础教育来实现，数学分析课程正是其中最重要的一个 环节。 我们立足于培养数学基础扎 实，知识面宽广，具有创新意识、开拓精神和应用能力，符合 新世纪要求的优秀人才。从 人才培养的角度来讲，一个学生能否学好数学，很大程度上决 定于他进大学伊始能否将《 数学分析》这门课真正学到手。 本课程的目标是通过系统的学习与严格的训练，全面掌握 数学分析的基本理论知识；培养 严格的逻辑思维能力与推理论证能力；具备熟练的运算能 力与技巧；提高建立数学模型， 并应用微积分这一工具解决实际应用问题的能力。 微积 分理论的产生离不开物理学，天文学，几何学等学科的发展，微积分理论从其产生之 日起 就显示了巨大的应用活力，所以在数学分析的教学中，应强化微积分与相邻学科之间 的联 系，强调应用背景，充实理论的应用性内容。数学分析的教学除体现本课程严格的逻 辑体 系外，也要反映现代数学的发展趋势，吸收和采用现代数学的思想观点与先进的处理 方法 ，提高学生的数学修养。 我曾经提出全校的理工科入学后的前两年用数学系的方式对其进 行严格的数学教育，在世 界很多大学都已经实行（哈佛大学、剑桥大学、牛津大学、滑铁 卢大学、圣母大学等等） 。最起码一年级的《数学分析》完全可以取代《高等数学》。因 为一年级还不涉及专业课 的问题，所以不存在专业课忙不过来，没时间学好数学的问题。 而他们可以考取交大，一 定会有很好的数学基础的，不存在学不会的问题。（想一想二年 制的专科院校都有数学系 ，都培养出了席南华这样的数学家。我们的非数学系生源的数学 素养不会比专科院校数学 系差吧？） 这样做对数学系本身的未来发展将产生重要影响。 因为这样做可以使得交大理工科本科生 拿到数学二专文凭的人就会大大增加。因为第一 ：重新学习《数学分析》要花很大的时间 和精力，而这样做《数学分析》就可以免修了； 第二：《数学分析》学好了，像《微分方 程》、《复变函数》、《实变函数》、《概率统 计》、《泛函分析》、《微分几何》、《 拓扑学》等等的课程就会学起来事半功倍，甚至 于可以自学完成。这样，一方面数学系可 以从全校争取到更多的研究生生源，另一方面，很大程度上堵死了数学系本科毕业生转行 考取其他专业之路，因为他们失去了优势。 可 以说，挽救了数学系。 为什么要学《数学分析》而不是《高等数学》？《数学分析》强调的是理论，主要是训练 学生逻辑思维的能力。它的主要特点是开动学生们的脑筋，教会大家如何去“想”。而《 高等数学》强调的是计算，二者的性质不同。把数学仅仅理解为不需要思考的演算，真的 是对数学的侮辱。这种知其然、不知其所以然的类似于马戏团驯兽似的教育方式，和我们 一贯标榜的人类灵魂工程师的教育宗旨背道而驰，根本谈不上数学素质的教育，也对后续 课程的教学造成难度。这种教学模式事实上等同于一踏进大学校门就被 misleading 了。 后来积重难返，在不懂数学原理的道路上越走越远。 在第一步没有走好的状况下，以后 的 课程步履维艰。到了上周国标的研究生公共课的时候，简直成了对牛弹琴了！ 《高等 数学》里面不包括实数的完备性的六大定理，也不会讲一致收敛、一致连续等等概 念。我 给他们上复变函数的时候发现高数出身的上了大三了连什么是上极限也不知道，可 是我们 复变里面的求幂级数的收敛半径里面就有柯西—阿达玛定理，就必须要用到上极限 。我当 时真的惊讶万分，同时为交大的学生感到悲哀。还有，在一个闭区域上解析，意味 着在一 个更大的包含了这个闭区域的开区域上解析，这是我们复变函数里面的一个经典结 论。这 个概念理解与否，决定了你能否把两种不同的区域的解析统一起来！能否对解析概 念的理 解上一个台阶。但是，这个结论的证明，需要用到有限覆盖定理。不懂得一致收敛 ，如何 可以逐项求导、逐项积分？这是我们复变函数躲不过去的坎！ 概率统计也是一样。数学分 析当中关于极限理论、积分、以及函数连续性等等知识都是学 习概率的最基本知识，从初 级的概率来看，基本上只需要用到简单的低重积分和级数收敛 性；但如果要学深一点，那 么数学分析中关于函数连续以及一致连续的部分是概率论当中 说明随机变量收敛和证明相 合性的基础，那么更需要你有一定的泛函分析基础。由于是高 数出身的很多数学分析性质 学的马马虎虎，也不明白为什么随机变量的数学期望要求绝对 收敛。在讲分布函数的性质 的时候，要用到很多的数学分析知识。例如：左连续的定义， 单调增加有上界，可积函数 （未必连续）和原函数的关系，什么样的函数是黎曼可积的？ 还有广义积分的敛散性、级 数的敛散性等等。最好还有实变函数的基础知识。我们教概率 、复变的老师，事实上是接 力赛的第二棒。可是微积分的第一棒跑的一塌糊涂，你叫我们 第二棒怎么跑？ 有一次（ 我记得是2003年）清华大学数学系前系主任、国家教育部特邀顾问萧树铁访问交 大数学系 ，我有幸被选去和他座谈。在和萧老师座谈的两个多小时之中，我向他提出了很 多非数学 专业的数学教育问题。对于现行的高等数学的教育，他老人家深恶痛绝，发自心 底的呐喊 ：“我们再也不能用这种断子绝孙（学子学孙——笔者注）的方式教学了！…… 无论对什 么样的学生，都一定要讲真正的数学！”我当时反问他：“像一致收敛这么难的 概念，数 学系的学生理解起来尚有难度，如何对非数学系的学生讲？”萧树铁老师回答说 ：“其实 只要把函数看作点，不就可以了? 事实上没必要讲这么多的点收敛。反而先入为 主，难以 理解一致收敛了。”我听了恍然大悟、茅塞顿开！真的是听君一席话、胜读十年 书！ 著 名数学家莫毅明对这个问题的认识。
2009年初，著名数学家莫毅明访问上海交大的时候 ， 张校长曾经征求过莫教授的意见：“理工科非数学专业是否有必要施行数学系的数学教 育 ？” 莫教授回答说：“这样做很有必要。讲数学一定要懂数学的人来讲才对。我们香港 大学经常接受来自英国很多大学的各种专业学生来数学系交流，那些非数学专业的数学素 养之高使你很难区分哪些是来自数学专业，哪些不是来自数学专业。” 著名数学家萧荫 堂 访问上海交大做励志讲坛报告的时候，也鼓励工科的学生要多学一点数学。 数学专业 和其他行业的关系。 基础数学与应用数学是计算机专业的基础和上升的平台，是 与计算 机科学与技术联系最为紧密的专业之一。　　　
由于数学与应用数学专业与其他相关专业 联系紧密，以它为依托的相近专业可供选择的比 较多，因而报考该专业较之其他专业回旋 余地大，重新择业改行也容易得多，有利于将来 更好的就业。　

永远

标 题: 《数学分析》VS《高等数学》4——意义

发信站: 饮水思源 (2010年04月25日10:33:16 星期天)

《数学分析》是数学各专业的关键基础课，历时三学期，内容多，难度大，对后继课程： 《常微分方程》、《偏微分方程》、《复变函数》、《实变函数》、《泛函分析》、《微 分几何》、《拓扑学》、《概率统计》、《随机过程》等具有直接而重要的影响，学好这 门课程是学生进入大学后由初等的数学领域顺利跨入高等的数学领域、进而打开数学学习 局面的关键，是整个变量数学这个庞大体系的基石，对学生养成良好的思维习惯、掌握扎 实的数学基础、经受严格的数学训练具有启蒙和奠基作用。 下面我具体谈谈全校理工科普及《数学分析》的意义（至少对那些和数学关联比较大的专 业）： 《数学分析》和《高等数学》的培养理念、培养目标不同，如果你不是立志成才，成为一 个国家的栋梁，一个令你的亲友、老师、同学为之骄傲的人，那么你真的不需要下那么大 的功夫去学习《数学分析》，除非你的专业和数学关系很大。学学《高等数学》，会算那 些工程里的微积分就OK了。 我和科大的老师在一起开会的时候，聊起来“如何对非数学专业进行数学教育”这个话题 的时候，针对科大全校的数学高标准严要求，他们也说他们科大胸无大志的学生也在科大 的BBS上大骂：“我们又不想当科学家！” 我的目的是把非数学专业的学生培养成钱学森、王选，而不是什么“能工巧匠”。如果你 希望成为高尖端人才，你就必须加强数学的基础。学好数学分析，仅仅是第一步，也是学 好与此相关的后继课程的前提。学好数学分析，就好比推到了多米若骨牌的第一块，其他 后继课程势如破竹、相继倒下！说穿了，《复变函数》就是《数学分析》从实数域到复数 域的推广；《泛函分析》就是《数学分析》从实数空间到抽象空间的推广。 我在讲述《复变函数》的时候，复变函数有很多结论类似于数学分析，我喜欢把它们拿出 来进行比对，指出他们的异同点，要挖出产生这种区别的根源在哪里。然而，如果你没有 学过数学分析，我简直就像对牛弹琴。有一次我讲到：非一致收敛的连续函数项序列，很 可能收敛到不连续的函数，并且举出了反例来支持我的这个观点。结果，同学们大吃一惊 ，下课后又继续和我讨论这个反例。其实，这是数学分析老师的business, 不是我的busi ness. 其他非数学专业研究中遇到的问题常常必须借助于数学工具来解决，这就要求你就必须有 很深的数学造诣来把你的问题转化为数学模型。因为数学家不懂得你的专业，无法帮你转 化。而如果你自己的数学造诣不够，你也无法转化。所以很多问题得不到解决，你也就无 法取得你的专业上的突出成果。这是我的理解，也许是凭空想象。 按照我的想法是： 全校理工科《数学分析》和《高等数学》同时设定，内容和进度相同，供所有理工科学生 随意选择。《数学分析》每周五节课，而《高等数学》每周四节课。便于选了《数分分析 》的同学如果不适应随时可以转到《高等数学》。当然，学分不同，《数分分析》的学分 适当高一些。

总结一下，学《数学分析》还有以下优势：

1、出国变得容易。一方面我们数学系老师首先帮助那些《数学分析》学好的同学写推荐信 ；另一方面国外更看重你的数学基础。
2、容易拿到数学二专文凭。首先，《数学分析》可以免修了，而且《数学分析》学好以后 对后继课程影响甚大，甚至于自学也不难了。但是从《初等数学》到《数学分析》之间有 一个很大的Gap，是思维方式、数学理念上的大转变，自学的话很难跨越，是一个脱胎换骨 的过程。从《初等数学》到《高等数学》倒是 Gap 不大，所以同学们感到很舒服，但是发 展前途差得远了，除非你的专业和高深的数学关联不大。 我可以负责任的说，从大学到博士毕业，学过无数门数学课。自从学懂了《数学分析》（ 我们数学分析课程用了整整两年时间，一年级每周6节课，二年级每周四节课。用的是吉林 大学的课本，共上中下三册。这套课本事实上就上前苏联的课本的翻版），之后的所有数 学课你都不会感到困难了，因为思维模式是相同的，或者难度不大，你的思考问题的方式 再也不需要“大革命”了！事实上，最难跨越的就是《数学分析》这第一步，可以说成败 就在于此。
3、转入数学系也不需要再留级。大一那些微小的差异自己补补就可以了。
4、将来的路更加宽广。有了更好的数学基础，改行变得容易。考数学系的研究生也不是不 可能。
5、将来在自己的专业上更加有希望创造出突出的成果，成为我们国家的栋梁。 说实在的，我实在想不出除了数学以外，还有什么课程能够像数学一样锻炼你的思维能力 ，在比较、分析、综合、抽象、概括、判断、推理等等方面都使你得到提高。换句话说， 数学使你更聪明。

永远

【 以下文字转载自 math 讨论区 】 【 原文由 sunnyrose 所发表 】

我多年来主讲非数学专业的《概率统计》和《复变函数B》,还有数学二专的《复变函数与概率论》。 我来解释为什么要学《数学分析》而不是《高等数学》。《数学分析》强调的是理论，而《高等数学强》调的是计算，二者的性质不同。把数学仅仅理解为不需要思考的演算，真的是对数学的侮辱。这种知其然、不知其所以然的类似于马戏团驯兽似的教育方式，和我们一贯标榜的人类灵魂工程师的教育宗旨背道而驰。他们一踏进交大的大门，实际上就被 misleading 了。后来积重难返，在不懂数学的道路上越走越远。 在第一步没有走好的状况下，以后的课程步履维艰。到了周国标的公共研究生课的时候，简直成了对牛弹琴了！ 《高等数学》里面不包括实数的完备性的六大定理，也不会讲一致收敛、一直连续等等概念。我给他们上复变函数的时候发现高数出身的上了大三了连什么是上极限也不知道（乐景良的学生除外），可是我们复变里面的求幂级数的收敛半径里面就有柯西—阿达玛定理，就必须要用到上极限。我当时真的惊讶万分，同时为交大的学生感到悲哀。还有，在一个闭区域上解析，意味着在一个更大的包含了这个闭区域的开区域上解析，这是我们复变函数里面的一个经典结论。这个概念理解与否，决定了你能否把两种不同的区域的解析统一起来！对解析概念的理解就可以上一个台阶。
还有，不懂得一致收敛，如何可以逐项求导、逐项积分？这是我们复变函数躲不过去的坎！ 教概率统计的时候，也是一样。由于是高数出身，很多数学分析性质学的马马虎虎，也不明白为什么随机变量的数学期望要求绝对收敛。在讲分布函数的性质的时候，要用到很多的数 学分析知识。例如：左连续的定义，单调增加有上界，可积函数（未必连续）和原函数 的关系，什么样的函数是黎曼可积的？还有广义积分的敛散性、级数的敛散性等等。最好 还有实变函数的基础知识。 我们教概率、复变的老师，事实上是接力赛的第二棒。可是微积分的第一棒跑的一塌糊涂，你叫我们第二棒怎么跑？我每次从乐景良老师手里接过第二棒，总是跑的很顺手。因为我需要的基础他都打好了。为什么同样多的课时，乐老师可以做到？！在这里，我要衷心地向乐老师致敬！他的工作态度，让我敬佩；他的工作方法，使我受益；他的工作精神，值得我 学习。在我的教学生涯中，我渴望有一天可以做到像他一样好！ 有一次（我记得是2003年）著名数学教育家萧树铁老师（清华大学数学系前系主任、国家 教育部特邀顾问）访问交大数学系，我有幸被选去和他座谈。在和萧老师座谈的两个多小 时之中，我向他提出了很多非数学专业的数学教育问题。对于现行的高等数学的教育，他 老人家深恶痛绝，发自心底的呐喊：“我们再也不能用这种断子绝孙（学子学孙——笔者 注）的方式教学了！……无论对什么样的学生，都一定要讲真正的数学！”我当时反问他 ：“像一致收敛这么难的概念，数学系的学生理解起来尚有难度，如何对非数学系的学生 讲？”萧树铁老师回答说：“其实只要把函数看作点，不就可以了? 事实上没必要讲这么 多的点收敛。反而先入为主，难以理解一致收敛了。”我听了恍然大悟、茅塞顿开！真的 是听君一席话、胜读十年书！
2009年初，在我的努力下，香港大学莫毅明教授（哈佛大学萧荫堂院士的学生）访问上海 交大，张杰校长热情款待了我们。席间，张校长对莫教授说：“你这个师妹呀，倡导我们 交大所有理工科施行数学系的数学教育。”莫教授回答说：“这样做是正确的。……讲 数学一定要懂数学的人来讲才对。我们香港大学经常接受来自英国大学的各种专业学生来 数学系交流，那些非数学专业的数学素养之高使你很难区分哪些是来自数学专业，哪些不 是来自数学专业。”开玩笑！我的观点早就和他们交流过！很多都是受了他们的启发。张 校长还回过头来再去征求他们的意见。

永远

标 题: 《数学分析》VS《高等数学》3——发生在数学系的一场论战 发信站: 饮水思源 (2010年04月18日16:18:34 星期天)

不久前，我们数学系召开了教学改革会议，主持会议的是分管教学的黄建国主任。他把我 向教务处提交的Proposal《关于全校理工科加强数学教学的建议》打印出来，人手一份。 这个建议书是我根据大家在网上的精彩发言整理而成的，可以说凝结着大家的心血。大意 是全校理工科强化数学的教育，首先从《高等数学》入手，在学生素质允许的前提下，尽 可能地将《高等数学》用《数学分析》替换掉(至少对那些和数学关系较大的专业这样实行)，再也不要用这种断子绝孙的方式教学了。

永远

今天上午10：00我乘班车去徐汇校区，在车上碰到了章仰文、邵国年夫妇。因为很久没见到他们了，今天见到他们好开心。我和他们夫妇历来很谈得来，经常在一起切磋教学心得和体会，属于忘年交。我很高兴在上海交大数学系可以遇到这样可以推心置腹的好朋友。 在一起议论起在网上讨论得沸沸扬扬的我的建议《数学分析》VS《高等数学》。邵老 师说他听说网上的议论以后，专门去网上查阅了我的所有帖子，以及所有回帖，甚至于每 个细节他都记得。作为长期给非数学系上数学分析的老师，他说：“《数学分析》和《高等数学》尽管从内容上讲看上去区别不大，但是其培养理念、培养目标完全两样的，这两门课的差别不是内容的差别。一个是教会别人如何思考，培养人的分析问题解决问题的能力，另一个是教会别人如何计算。事实上，《高等数学》应该更名为‘微积分算术’。同学们上《数学分析》课不要老是问：我学了这个定理证明究竟有什么用呀？学校是培养人的地方，数学教育不可以仅仅理解为‘工具’教育。…… 课时不够内容可以删减，但是，培养的理念不可以错位。有了自学能力，剩下的内容自学即可。”我不禁笑了起来。我说：“邵老师，您的这些话和我的想法一模一样，很多我早就在BBS上说过。我们就是要教会同学们追溯当初数学家思考这个问题的心路历程，在思想上和数学家发生共鸣。长此以往，养成科学家的思维习惯。只有这样，才更有可能培养出科学家。”长期给国际化试点班主讲《数学分析》的名师章老师说：“教务处的调查反馈发现，一年培养下来，《数学分析》和《高等数学》的教学效果已经相差很大。教务处的颜老师为此专门回访调查接受这两门课的同学们出国以后的学习情况，掌握了大量的第一手资料（在这里我真的很感动我们的教务处，真的是一个与时俱进、充满活力、具有责任感和使命感的教务处。这是我们交大的福气！）。大家普遍反映《数学分析》的培养结果要大大好于《高等数学》，在国外的学习生涯使他们受益无穷，在自学能力、分析问题、解决问题的能力方面，要大大优于《高等数学》的培养结果。很多后续的数学课程都可以通过自学就解决。”

永远

我们一直倡导素质教育。对于理工科而言，数学素质的培养至关重要。什么是"数学素
质 "？ 英文翻译为 mathematical quality; mathematical literacy. 不同专家对 数
学素质 的见解归纳如下：
1） 数学素质是指：数学知识、见解、思维创造性解决实际问题等综合能力。
2） 数学素质则是指：“数学中蕴涵的人在全面发展中起到工具性功能和育智性 功能
的东 西.”
3） 数学素质是指人们认识和处理数形规律、逻辑关系及抽象事物的悟性和潜能 ,是一
种应 用和发展数学科学的功底.这种扎实的数学功底,正是今后应用数学解决实际问题
的基础 .
4） 关于数学素质，萧树铁先生的见解为“初步掌握了一种现代科学的语言和工 具,学
到一 种理性的思维模式,培育了一种审美情操,这一切构成了人的一种特殊的素质,称为
数学素 质.”他还把数学素质的内涵概括为:创造、归纳、演绎、数学建模。
5） 数学素质是数学学科的内蕴特性可以赋予学生良好的思维品质和创新能力. 一般我
们认 为数学素质对于培养学生的作用可以通过归纳：从众多的事物和现象中找出共同
性和本 质的东西的抽象化思维.
6） 世界上任何事物都有“数”和“形”的属性特征人们认识事物的这种属性及 处理
其相 应关系的悟性和潜能称为数学素质.数学教育的核心目标正是在于提高学生的数学
素质。

下面我谈谈数学分析和高等数学的区别。

数学分析(Mathematical Analysis)是数学专业的必修课程之一，基本内容是微积分，
但 是与微积分有很大的差别。

微积分学是微分学(Differential Calculus)和积分学(Integral Caculus)的统称，英
语 简称Calculus，意为计算，这是因为早期微积分主要用于天文、力学、几何中的计
算问 题。后来人们也将微积分学称为分析学（Analysis)，或称无穷小分析，专指运用
无穷小 或无穷大等极限过程分析处理计算问题的学问。

早期的微积分，由于无法对无穷小概念作出令人信服的解释，在很长的一段时间内得不
到发展。柯西（Cauchy）和后来的魏尔斯特拉斯（Weierstrass）完善了作为理论基础
的 极限理论，使微积分逐渐演变为逻辑严密的数学基础学科，被称为“Mathematical
Ana lysis”，中文译作“数学分析”。

学好数学分析是学好其他后继数学课程，如：微分方程，复变函数，实变函数与泛函分
析，微分几何，计算方法，拓扑学，测度论，概率论与数理统计等课的必备的基础。

作为学好数学最重要的基础课之一，数学科学的逻辑性和历史继承性决定了数学分析在
数学科学中举足轻重的地位，数学的许多新思想，新应用都源于这坚实的基础。数学分
析出于对微积分在理论体系上的严格化和精确化，从而确立了在整个自然科学中的基础
地位，并运用于自然科学的各个领域。同时，数学研究的主体是经过抽象后的对象，数
学的思考方式有鲜明的特色，包括抽象化，逻辑推理，最优分析，符号运算等。这些知
识和能力的培养需要通过系统、扎实而严格的基础教育来实现，数学分析课程正是其中
最重要的一个环节。

我们立足于培养数学基础扎实，知识面宽广，具有创新意识、开拓精神和应用能力，符
合新世纪要求的优秀人才。从人才培养的角度来讲，一个学生能否学好数学，很大程度
上决定于他进大学伊始能否将《数学分析》这门课真正学到手。

本课程的目标是通过系统的学习与严格的训练，全面掌握数学分析的基本理论知识；培
养严格的逻辑思维能力与推理论证能力；具备熟练的运算能力与技巧；提高建立数学模
型，并应用微积分这一工具解决实际应用问题的能力。

微积分理论的产生离不开物理学，天文学，几何学等学科的发展，微积分理论从其产生
之日起就显示了巨大的应用活力，所以在数学分析的教学中，应强化微积分与相邻学科
之间的联系，强调应用背景，充实理论的应用性内容。数学分析的教学除体现本课程严
格的逻辑体系外，也要反映现代数学的发展趋势，吸收和采用现代数学的思想观点与先
进的处理方法，提高学生的数学修养。

我曾经提出全校的理工科入学后的前两年用数学系的方式对其进行严格的数学教育，在
世界很多大学都已经实行（哈佛大学、剑桥大学、牛津大学、滑铁卢大学、圣母大学等
等）。最起码一年级的《数学分析》完全可以取代《高等数学》。因为一年级还不涉及
专业课的问题，所以不存在专业课忙不过来，没时间学好数学的问题。而他们可以考取
交大，一定会有很好的数学基础的，不存在学不会的问题。（想一想二年制的专科院校
都有数学系，都培养出了席南华这样的数学家。我们的非数学系生源的数学素养不会比
专科院校数学系差吧？）

这样做对数学系本身的未来发展将产生重要影响。 因为这样做可以使得交大理工科本
科 生拿到数学二专文凭的人就会大大增加。因为第一：重新学习《数学分析》要花很
大的 时间和精力，而这样做《数学分析》就可以免修了；第二：《数学分析》学好
了，像《 微分方程》、《复变函数》、《实变函数》、《概率统计》、《泛函分
析》、《微分几 何》、《拓扑学》等等的课程就会学起来事半功倍，甚至于可以自学
完成。这样，一方 面数学系可以从全校争取到更多的研究生生源，另一方面，很大程
度上堵死了数学系本 科毕业生转行考取其他专业之路，因为他们失去了优势。 可以
说，挽救了数学系。

为什么要学《数学分析》而不是《高等数学》？《数学分析》强调的是理论，主要是训
练学生逻辑思维的能力。它的主要特点是开动学生们的脑筋，教会大家如何去“想”。
而《高等数学》强调的是计算，二者的性质不同。把数学仅仅理解为不需要思考的演算
，真的是对数学的侮辱。这种知其然、不知其所以然的类似于马戏团驯兽似的教育方式
，和我们一贯标榜的人类灵魂工程师的教育宗旨背道而驰，根本谈不上数学素质的教育
，也对后续课程的教学造成难度。这种教学模式事实上等同于一踏进大学校门就被 mis
leading 了。后来积重难返，在不懂数学原理的道路上阶咴皆丁� 在第一步没有走好
的 状况下，以后的课程步履维艰。到了上周国标的研究生公共课的时候，简直成了对
牛弹 琴了！

《高等数学》里面不包括实数的完备性的六大定理，也不会讲一致收敛、一致连续等等
概念。我给他们上复变函数的时候发现高数出身的上了大三了连什么是上极限也不知道
，可是我们复变里面的求幂级数的收敛半径里面就有柯西—阿达玛定理，就必须要用到
上极限。我当时真的惊讶万分，同时为交大的学生感到悲哀。还有，在一个闭区域上解
析，意味着在一个更大的包含了这个闭区域的开区域上解析，这是我们复变函数里面的
一个经典结论。这个概念理解与否，决定了你能否把两种不同的区域的解析统一起来！
能否对解析概念的理解上一个台阶。但是，这个结论的っ鳎?枰?玫接邢薷哺嵌ɡ怼�
不懂得一致收敛，如何可以逐项求导、逐项积分？这是我们复变函数躲不过去的坎！

概率统计也是一样。数学分析当中关于极限理论、积分、以及函数连续性等等知识都是
学习概率的最基本知识，从初级的概率来看，基本上只需要用到简单的低重积分和级数
收敛性；但如果要学深一点，那么数学分析中关于函数连续以及一致连续的部分是概率
论当中说明随机变量收敛和证明相合性的基础，那么更需要你有一定的泛函分析基础。
由于是高数出身的很多数学分析性质学的马马虎虎，也不明白为什么随机变量的数学期
望要求绝对收敛。在讲分布函数的性质的时候，要用到很多的数学分析知识。例如：左
连续的定义，单调增加有上界，可积函数（未必连续）驮???墓叵担?裁囱?暮?�
是黎曼可积的？还有广义积分的敛散性、级数的敛散性等等。最好还有实变函数的基础
知识。我们教概率、复变的老师，事实上是接力赛的第二棒。可是微积分的第一棒跑的
一塌糊涂，你叫我们第二棒怎么跑？

有一次（我记得是2003年）清华大学数学系前系主任、国家教育部特邀顾问萧树铁访问
交大数学系，我有幸被选去和他座谈。在和萧老师座谈的两个多小时之中，我向他提出
了很多非数学专业的数学教育问题。对于现行的高等数学的教育，他老人家深恶痛绝，
发自心底的呐喊：“我们再也不能用这种断子绝孙（学子学孙——笔者注）的方式教学
了！……无论对什么样的学生，都一定要讲真正的数学！”我当时反问他：“像一致收
敛这么难的概念，数学系的学生理解起来尚有难度，如何对非数学系的学生讲？”萧树
铁老师回答说：“其实只要把函数看作点，不就可以了? 事实上没必要讲这么多的点收
敛。反而先入为主，难以理解一致收敛了。”我听了恍然大悟、茅塞顿开！真的是听君
一席话、胜读十年书！

永远

标 题: 《数学分析》VS《高等数学》3——发生在数学系的一场论战 发信站: 饮水思源 (2010年04月18日16:18:34 星期天)

不久前，我们数学系召开了教学改革会议，主持会议的是分管教学的黄建国主任。他把我 向教务处提交的Proposal《关于全校理工科加强数学教学的建议》打印出来，人手一份。 这个建议书是我根据大家在网上的精彩发言整理而成的，可以说凝结着大家的心血。大意 是全校理工科强化数学的教育，首先从《高等数学》入手，在学生素质允许的前提下，尽 可能地将《高等数学》用《数学分析》替换掉(至少对那些和数学关系较大的专业这样实行)，再也不要用这种断子绝孙的方式教学了。
我的建议是引起了激烈的讨论。乐经良教授说：“《数学分析》是补药，吃得越多越好。没什么好说的，这个建议书写的非常好！从培养人的角度来说，绝对正确 。”还谈起了这个话题在全国有关会议上的发展史，由来已久。列举了很多教育家，例如 萧树铁等人的观点，以及这个讨论主题的发展现状和在全国的状况。基本上在全国是各占 半壁江山，没有输赢。可以说，争论仍在继续。朱佐农教授则说：“我们交大可不可以心胸宽广一点，不要拘泥于仅仅使用自己编写的教材，而是从全国，甚至全世界范围内对教材进行择优录用。而且，培养人的过程是一个脑力劳动的复杂的过程，不能象个作坊：全校统一的课本、统一的试题，尽管我们称呼它为《高等数学A》,《高等数学B》,《高等数学C》,《高等数学D》,……，但事实上大同小异。这简直就是“批发销售”《高等数学》的教学模式。其实微积分用电脑完全可以计算了，没必要花这么多时间学习。”他们都是从培养高质量人才的角度上去考虑的。我非常赞成。?

永远

开学已经有一周了，加上上个暑假想了很多很多的问题，觉得很难再憋在心里了，终于还是决定到BBS上吐一吐。
   很荣幸这学期选到了姚卫红老师的复变函数课，所以也在暑假的时候加入了姚老师的复变函数学习群，算是有个机会了解到真实生活中的神秘人物吧，最初对老师的印象不过是“她是一个空调狂人”，后来才慢慢知道原来姚老师就是当年我相当讨厌的那个要在全校范围内推广数学分析的人！
   就是到真的走进了教室，我依然能犀利的感受到姚老师对于“高等数学出身”的我们的无限鄙视。因为在她的眼中，只学习过高等数学而没有学习过数学分析是对大学数学的一种侮辱。对于这种说法的对与错我不便直白的表述我自己的观点了，因为我无论同意还是不同意都会有人站出来反对的。我想看完了我的文章大家也应该会明白我的想法了。
   开学已经大三了，一转眼大学已经过了一半。至于刚刚进入大学的时候那些誓言那些那些宏伟的目标我已经不忍心再去想了，因为我知道想了也是对我自己的一种侮辱。有时我回想在高中的时候真的很用心很努力，那个时候觉得自己进入交大这样的大学一定会更加努力的走的更远。当然结果是恰恰相反的，两年的时间过去了，我自己完全没有办法感受到在任何方面有过长进（仅就学习能力而言）。正如姚老师在课上说的那些话一样“什么是连续函数你还能完整的说出来吗？你连实数的那点东西都没学好你让我怎么教给你复变的东西？”，现在类似的想法越来越多了：要学液压了，才知道自己的流体力学学的那么烂；要学传热了，才知道自己的工程热力学学的那么烂；要开始写东西了才发现自己的词汇量在大学几乎没有什么进步；要学机械设计了，才发现自己的理论力学完全就是渣。没错，以我以前的学习状态，也许我能应付考试，但是我怎么应付接下来的人生？
   开学已经大三了，一转眼大学只剩下一半。以前还总是拿自己当小孩子的，现在也要像模像样的想一下我以后要干嘛：要不要去实习然后工作？要不要入个党考个研？要不要G一下T一下出个国？大一的时候成绩还算不错，选大专业的时候还能掌控自如，但是到了大二的时候，跌的一塌糊涂的成绩已经让我在选择小方向上无能为力了，颇有任人宰割的感觉。看看身边的同学们有的做暑期科研实习、有的做PRP，真心有点羡慕，自己呢也想尝试一下。可是看着那我自己拿出来都会发抖的成绩单，我都不知道我该怎么厚着脸皮向老师或教授提出我想要做研究的想法。也许有人会说老师不会在意你的GPA的，只要你用心就行了。可是我觉得如果我连我本来就应当无条件考好的必修课都不能搞定，那么我又怎么会有能力完成其他研究工作呢？
   不瞎想了，回到成绩问题上。大二下学期开始的时候我很幸福的，因为我的几门专业课的老师都是大牛，都是编著教材的大牛教授，还幻想着在这样的老师带领下我的成绩能够更上一层楼的。可是事与愿违了，一方面由于身体不好一直头痛，另一方面由于自己掉以轻心没有重视，再一方面由于高数理力的底子都没有打牢，最终的结果已然都是惨淡的处于挂科边缘了。如今回想起来，真的有很多后悔，多希望自己能够重新来上这些课，不是重修，而是让时光倒退。我觉得假入自己能够重新来一次，我一定会好好珍惜，课上不再吃早饭，不再偷偷睡觉，不再躲在最后一排，不再把作业应付了事交上去，不再占用课上的时间做无关的事情。我想对于这些基础的课程，恐怕都不用多思考些什么，就算是认认真真做好该做的事情也不会落得这个地步。但是我知道这一切只是想想，因为生命只给了我这一次机会，失去了就不会再回来。作为一个负责任的人，叹息后悔总归是没有意义的，我想此时此刻我应该做的就是反思自己两年来所犯下的种种“罪行”，在今后的日子里不敢奢求有多大的飞跃式进步，但至少可以问心无愧的弥补自己以往的过失。
   开学前在复变和数模间犹豫了很久，因为听大家说，复变的考试很难很难。可是从我接触到姚老师的那一刻起，我想我就没有其他的选择了，我会在姚老师的复变课堂上继续读下去，也许姚老师不能给我一个高分，也许我不能成为姚老师眼中合格的学生，但是姚老师对数学真理不懈的追求，恐怕是我真正选择这门课的原因。我想这也是给我一个机会，让我能够用心的，再学一学数学这样的基础学科，弥补一下内心的空白。
   在这里，真心的向某些教过我的老师说一声抱歉！我的抱歉，不是因为我考的不好，而是因为我本能学的更好更透彻而我没有选择这样做。
   这些话本来昨天就已经写好，但是昨天是个对老师说感谢的日子，不是个说抱歉的日子，所以发在今天，敬上。

elim

非常认同要么不学高等数学，要学高等数学就学【数学分析】和数学专业的【高等代数】。

现在的数学软件可以在技巧和计算方面提供帮助，这使得人们有更多时间去理解原理和数学思想，作开创性的工作。