已知 a,b,c 为正整数，满足 19/20＜1/a+1/b+1/c＜1 ，求 a+b+c 所有可能值中的最小值

luyuanhong

题  已知 a,b,c 为正整数，满足 19/20＜1/a+1/b+1/c＜1 ，求 a+b+c 所有可能值中的最小值。

解  假如 a,b,c 中没有一个 2 ，则

    当 a=b=c=3 时，1/a+1/b+1/c=1/3+1/3+1/3=1 ，不合要求。

    当 a≥3 ，b≥3 ，c≥4 时，1/a+1/b+1/c≤1/3+1/3+1/4=11/12＜19/20 ，也不合要求。

    由此可见，a,b,c 中至少要有一个 2 。

    如果 a,b,c 中有一个 2 ，但是没有 3 ，则

    当 a=2 ，b=c=4 时，1/a+1/b+1/c=1/2+1/4+1/4=1 ，不合要求。

    当 a=2 ，b≥4 ，c≥5 时，1/a+1/b+1/c≤1/2+1/4+1/5=19/20 ，也不合要求。

    由此可见，a,b,c 中至少要有一个 2 ，至少要有一个 3 。

    当 a=2 ，b=3 时，1/a+1/b+1/c=1/2+1/3+1/c=5/6+1/c 。

    要 5/6+1/c＜1 ，即要有 1/c＜1-5/6=1/6 ，c＞6 。

    要 5/6+1/c＞19/20 ，即要有 1/c＞19/20-5/6=7/60 ，c＜60/7=8.57… 。

    在此范围内的整数，只有 c=7 或 c=8 。

    现在要求 a+b+c 所有可能值中的最小值，显然应该取 c=7 。

    当 a=2 ，b=3 ，c=7 时，1/a+1/b+1/c=1/2+1/3+1/7=41/42 ∈(19/20,1)，确实符合要求。