正三角形 ABC 中，D 是 AB 中点，E 是 BC 上一点，已知 DE=EF=CF ，求证：∠DEF=60°

ccmmjj

这是在文科论坛上无人会做的题目，当然在应当这里是小菜一碟。

shuxuestar

shuxuestar

四个三角形相等 边也相等 其中有六十度和三十度的角度关系

这几个三角形从右下角沿角平分线向上相似放大运动 达到左边恰好为三角形腰的中点...........

得到正三角形腰到底顶点的三等边折线 当然还有对称的另一条..........

shuxuestar

更广泛的方法：怎麼做一个至少有一个60度角折线的三截线

圆过中点 底顶点和底边  用此法反证法与题目矛盾既可证明..........

shuxuestar

除前面两个方法 其他方法是达不到三等边折线有至少一个60度折线的

如下面这个就不是六十度

luyuanhong

ataorj

先改题目如图,正三角形ABC各边中点依次为D,H,G
F在GH上,EH=FG
求证:  DEF为正三角形且EF=FC
证明: ∠G=∠H=60°,DG=DH,EH=FG
-> △DEH≌△DFG,DE=DF,∠GDF=∠HDE,
而∠GDH=60° -> ∠EDF=60°,DEF为正三角形
另外,∠G=∠FGC=60°易证△CFG≌△DFG,DF=FC -> EF=FC

回到原题目,F必在直线FK上,
假设F不在直线GH上,为和在直线GH上的F相区别,
不在直线GH上的F计为F',∠FKC=90°,则显然EF'≠EF
这不符合题目已知条件EF=DE,所以F必在直线GH上
这就回到了本证明的开头成立情形,证毕.

ataorj

缺少对GF=HE必要性的分析。。。

Ysu2008

我们不妨把圈圈绕远一点，先搞一个一般化的结论，再把题目作为特殊情况代入求解。



回到题目，题目可等价为：

shuxuestar

我用更简单的方法 （不用反证法）直接极简证明：




这种证法还需证一下直角关系....... 有时间再研究一下