四色猜测更简单的一般性证明

雷明85639720

四色猜测更简单的一般性证明
雷  明
（二○一八年十月五日）
（图发不上来，请到《中国博士网》中去看—）

平面图的构形可分为两种，一类是坎泊早已证明是可约的构形（K—构形），一类是不可简单的通过对角链的交换空出颜色的构形（H—构形）。以BAB型的5—轮构形来说，H—构形又可按图中有没有经过5—轮的1B，2A和3B三个轮沿顶点的环形的A—B链和有没有经过5—轮的4D和5C两个轮沿顶点的环形的C—D链，再分三个子类。只含有环形的A—B链的A类H—构形，只含有环形的C—D链的B类H—构形，不含任何环形链的C类H—构形，和两种环形链都有的第四类构形。由于第四类构形又既属于A类，又属于B类，所以就不再单独的列为一类。

A类H—构形如图1。图中有一条环形的A—B链，把C—D链隔分成两个互不连通的部分，交换经过5—轮的4D和5C两个轮沿顶点的C—D链。就可使连通且相交叉的A—C链和A—D 链变得不连通，使图变成可约的K—构形。
B类H—构形如图2。图中有一条环形的C—D链，把A—B链隔分成两个互不连通的部分，交换经过5—轮的1B，2A和3B三个轮沿顶点的A—B链。也可使连通且相交叉的A—C链和A—D 链变得不连通，使图变成可约的K—构形。

C类H—构形如图3和图4。这是两个左右结构完全相反的构形。图中没有任何环形链，A—B链和C—D链都是直链，且不相交。


解决这类构形的办法是分别从左、右两个4—度顶点把C改成B（对图3）和把D改成A（对图4），两图就均变成了有A—B环形链的A类H—构形了；若分别从右、左两个4—度顶点把A改成D（对图3）和把B改成C（对图4），两图也就均变成了有C—D环形链的B类构形了。分别再按A类和B类的H—构形去解决就行了。如果所改变颜色的4—度顶点位于两条连通的A—C链和A—D链上（如图中的其他四个4—度顶点），则改变该4—度顶点的颜色后，图就直接变成了可约的K—构形。因为其颜色的改变直接的就使A—C链或A—D链变得不连通了。

为什么说C类H—构形中一定存在着两个4—度的顶点，且与其相邻的顶点只占用了两种颜色呢？证明如下：
当把两个相反的2—色环形链（该环形链一定是一个偶圈）任意各取掉两个不相邻顶点的颜色（如图5，a和图5，b中加大的顶点1和顶点2），再把两链中去掉了颜色的两个顶点分别重合起来时（即顶点1与顶点1重合，顶点2与顶点2重合），就是两个“环”相交的情况（如图5，c）。这时两环的两个交叉顶点1和2，就是两链中去掉了颜色的顶点。可以看到，这两个环相交叉的顶点1和2，都是两个4—度的顶点，且与其相邻的顶点分别只占用了两种颜色。
当把这两个4—顶点都着上同一条2—色链中的颜色时，该2—色链就是一个环形链（如图5，d和图5，e中的加粗边），而另一条2—色链则被分隔成两部分；而当把这两个4—度顶点分别着上相反的两条2—色链中的颜色时，图中就不会产生任何环形的2—色链（如图5，f）。
这就证明了在C类H—构形中，一定存在着两个4—度的顶点分别位于A—B链和C—D链上，并且与两个4—度顶点相邻的顶点只占用了两种颜色。所以该4—度顶点的颜色还是可以改变的，且还有一种颜色可以使用。这一现象说明了三种类型的H—构形之间，都是可以相互转化的，只要有一类构形是可约的，其他两类构形也一定都是可约的了。更何况这里的三类构形中已有两类是可约的了。
至此，我们已经证明了三类H—构形都是可约的了，但我们还想用转型交换对C类H—构形再试试。因为图3和图4只是左、右分布上的不同，所以我们只对图3的图进行转型交换。对图3从顶点1施行了逆时针转型交换后，得到图6。得明显图6中有一条经过了5—轮的2A和3B两个轮沿顶点的环形的A—B链，是一个B类的H—构形，也是可约的。
对图3从顶点3施行顺时针转型交换后，得到图7。图7好象是一个可以连续的移去两个同色C的K—构形，但当从顶点5交换了C—A链（这也是一次顺时针转型交换），移去了一个C后，得到的图8中虽然没有从另一个C顶点3到顶点1B的连通的C—B链，但却可以在平面图内构造出这样的连通链（如图9中的加粗边），使得不可能连续的再移去另一个同色C。图仍旧是一个C类的H—构形。





是否再施行顺时针转型交换后能够转型为A类H—构形，B类H—构形，或直接就得到K—构形，我们也不再继续施行转型交换了。按我们的经验，最多施行连续转型交换四次就可以转化成以上的A类H—构形，B类H—构形，或K—构形三种构形之一了。但不管怎样，前面已经证明了该构形最后一定是可以转化成K—构形的，这已经说明它是可约的了。

到此，就证明了所有的H—构形都是可约的，加上坎泊已经证明明了的K—构形的可约，则平面图的所有构形就都是可约的了，四色猜测也就得到证明是可约的。


雷  明
二○一八年十月五日于长安

注：此文已于二○一八年十月五日在《中国博士网》上发表过，网址是：