数列极限的黑箱加权平均与高精度逼近

elim

估计没几个人能看懂这个主贴。不过没关系，我会用一些例子说明。

elim

从上面的计算知道，直接计算三重和对略微大点的 n 计算量很大，收敛却很慢。
利用导出和以及黑箱加权，对 n = 500, 结果非常接近极限(小数点后18位拟合).

malingxiao1984

对任何A(n)，这样的f(x)都存在吗？还是说可以用A(n)去构造f(x)，看后面L的表达式好像又不依赖于任何一个f(x)，而是在a0的表达式里参数取了一些特殊值然后取x=1/n？

elim

一般来说，如果 A(n) 是 n 的某个解析表达式，{A(n)} 的极限存在，那么就有解析函数 f 使得 f(1/n) = A(n). 主贴标题“黑箱”是指不必知道解析 f 具体是什么，只要它存在，就可以用一个加权平均来高阶逼近 f(0) = lim A(n).

elim

姑且把下式成立的数列叫解析数列。记住这些魔术公式：

malingxiao1984

elim 发表于 2018-11-14 03:33
姑且把下式成立的数列叫解析数列。记住这些魔术公式：

这就是线性方程组不通阶数时L的公式，受教了，厉害

elim

再看一个例子：


上述黑箱加权平均比 E(88888888888888) = 2.7182818284590299450250... 更接近于 e.

elim

再看一个非黑箱例子：

elim

永远，有问题吗？

elim

用序列的项的线性组合高阶逼近其极限的思想，我早已听说过。但也没有看到什么文章专门谈这个问题。相信计算方法/数值计算的经典著作里应该有这方面的内容。不过我没找过。

这次因为要求一个收敛慢，计算量很大的序列的极限，就下决心作一般的处理。【黑箱加权】这个名称是我起的。网上自然找不到。