已知三角形的内心到三顶点的距离分别为 6,4,3 ，求此三角形的面积

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

已知三角形的內心到三頂點的距離分別為 6，4，3，求此三角形面積為何？

luyuanhong

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王守恩

由方程：arcsin(r/6)+arcsin(r/4)+arcsin(r/3)=90°  
      或  arccos(r/6)+arccos(r/4)+arccos(r/3)=180°  
都可以得出 r，进而是 3 条边(2s)
a=5.735996784，
b=7.923303165 ( 3 楼有错 )，
c=9.143666471，
最后得三角形面积=r*s，我们也可以这样想：
3个矩形宽度相同，3条对角线长度是 6,4,3，3个锐角的和是直角，求面积。  

luyuanhong

王守恩 发表于 2018-11-29 17:33
由方程：arcsin(r/6)+arcsin(r/4)+arcsin(r/3)=90°  
             可得 r       三角形面积=r*s

我在第 2 楼中的解法，就是利用了这两个公式。

SΔABC=r√(6^2-r^2)+r√(4^2-r^2)+r√(3^2-r^2) 就是 SΔABC=r(a+b+c)/2=rs 。

王守恩

王守恩 发表于 2018-11-29 17:33
由方程：arcsin(r/6)+arcsin(r/4)+arcsin(r/3)=90°  
      或  arccos(r/6)+arccos(r/4)+arccos(r/3)=18 ...

由方程：arcsin(r/6)+arcsin(r/4)+arcsin(r/3)=90°  
      或  arccos(r/6)+arccos(r/4)+arccos(r/3)=180°  
都可以得出 r，进而是 3 条边(2s)
a=5.735996784，
b=7.923303165 ( 3 楼有错 )，
c=9.143666471，
最后得三角形面积=r*s，我们也可以这样想：
3个矩形宽度相同，3条对角线长度是 6,4,3，3个锐角的和是直角，求面积。

luyuanhong

谢谢楼上 王守恩 指出我在第 3 楼帖子中的笔误！现已在第 3 楼中作了改正。