连续统无法构成

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戴狄金根据他的实数域的“基本定理”，提出实数域具有“连续性”[4]、“实数集合是连续统”的说法不合适。事实上，在绝对准意义下的这种实数域中，由于人们无法找相邻的实数，应当说：实数域不是连续的事物。由于理想实数集合具有无法构造完毕，可以推出：包含全体理想实数的集合，或正理想实数集合都无法找到极小元素；理想有理数集合与正理想有理数集合也是如此。所以，理想实数集合与理想有理数集合都具有不可整序的性质，都不是整序集合。对于理想实数集合，人们无法指出实数0的右邻是什么，但对近似实数集合可以指出它的右邻（例如： 在具有四位小数的近似实数集合里，0.0001 就是0的右邻）。这就消除了文献[5] 32页的使用Zern引理后证明的 “整序定理. 任何集合∑均可排成一个整序集”与64页的“基本Cohen模型出来后，由实数集之不可整序”[5]的形式逻辑体系的矛盾。

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笔者称上述定理1为理想实数在求极限问题上的完备性定理，与菲赫金哥尔茨《微积分学教程》一卷一分册的戴狄金（R.Dedekind）分划的实数理论相比较，笔者的这个定理的证明不仅消除了把有理数集合看作“完成了的实无穷”的违背实践的论述，而且笔者的证明过程不仅很简单而且符合实践（他的证明是在该书第7页提出有理数域分划开始，经过第15页完备性或称连续性的基本定理，到第76页才得到证明的繁琐而又使用了违背实践的“完成了的实无穷”观点），笔者在第二章还将指出他的实数连续性（他也成为完备性）的说法是错误的，他用第三类分划定义无理数的做法是无实践意义的，事实上他没有用这种分划建立无理数，他依据第三类存在的叙述是毕达哥拉斯时代提出的无理数“根号2”。

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应当说：实数域不是连续的事物。由于理想实数集合具有无法构造完毕，可以推出：包含全体理想实数的集合，或正理想实数集合都无法找到极小元素；理想有理数集合与正理想有理数集合也是如此。所以，理想实数集合与理想有理数集合都具有不可整序的性质，都不是整序集合。对于理想实数集合，人们无法指出实数0的右邻是什么，但对近似实数集合可以指出它的右邻（例如： 在具有四位小数的近似实数集合里，0.0001 就是0的右邻）。这就消除了文献[5] 32页的使用Zern引理后证明的 “整序定理. 任何集合∑均可排成一个整序集”与64页的“基本Cohen模型出来后，由实数集之不可整序”[5]的形式逻辑体系的矛盾。