求不定积分 ∫dx/[x√(x^2+4x+3)]

永远

这个积分可有好方法

luyuanhong

永远

luyuanhong 发表于 2018-12-3 23:08

给力，绝对的给力！分析的很是完美，比生硬的教科书更亲民，给陆老师点赞，感谢老师百忙之中回答我问题

永远

第一时间细看且按照陆老师的思路又重新验算了一下，过程确有点复杂，不过对于初学者的我来说，堪称经典
已收录！

永远

陆老师好，后文的t平方开根号怎么判断 他大于零

luyuanhong

永远 发表于 2018-12-4 07:49
陆老师好，后文的t平方开根号怎么判断 他大于零

你考虑得很仔细，其实这一点我解题时已经考虑到了，但是为了简洁，没有写出来。

在前面 √[(secθ)^2-1] = tanθ 时，开方后其实就应该有正负两种可能。但是我设 0＜θ＜π /2

（这一点我在解题时没有写出来），这样就必有 tanθ＞0 ，可以保证开方后只取正号。

因为 0＜θ＜π/2 ，所以当 t=tan(θ/2) 时可以保证必有 t＞0 ，这样后面开方就必定要取正号了。

永远

谢谢，那么该题要不要考虑负值呢，由于是不定积分，题目也没说，要不要来个分类讨论，我是稀里糊涂，求陆老师解答，俺是初学者，可能我想多了

如果前面设 -π/2＜θ＜0 ，则 tanθ＜0 ，求 √[(secθ)^2-1] 时，式子就会出现一个负号。

到后面因为 -π/2＜θ＜0 ，所以 t=tan(θ/2)＜0 ，t^2=(x+1)/(x+3) 开方后也会出现负号，

得到 t=-√[(x+1)/(x+3)] ，将它代入积分式后，ln| | 里面内的分式会变成

  [-√(3x+3)-√(x+3)]/[-√(3x+3)+√(x+3)] = [√(3x+3)+√(x+3)]/[√(3x+3)-√(x+3)] ，

与我在第 2 楼中的分式相比，分子分母正好颠倒了一下。然后对它取 -1 次方，把颠倒的分式

再颠倒过来，变成与第 2 楼中一样。ln| | 里面的 -1 次方可以提取到 ln| | 外面，这样

外面就多了一个负号，但是前面求 √[(secθ)^2-1] 时也有一个负号，这两个负号互相抵消，

最后结果就与第 2 楼中的最后结果一模一样了。

Future_maths

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另外一种做法。

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