七论华罗庚的《从杨辉三角谈起》 ——奇怪的低级错误 倪则均，2015年4月5日。

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1，高阶等差级数的概念。
等差级数原本只是中学数学的内容，对于一个数列u1，u2，…，un来说，如果其中的每一项ur（r≤n），减去它前面的一项ur--1所得到的差都相等ur-ur--1=d，这种相等的差d称之为公差，这样的数列称之为等差级数，其求和计算公式为：u1+u2+…+un=n（u1+un）/2。其实，在我国的古代数学里，对于“差”的问题一直十分重视。东汉的郑玄在他的《周礼注疏•地官司徒•保氏》中引郑司农（郑众）所言：“九数：方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、赢不足、旁要；今有重差、夕桀、勾股也。”
华罗庚在其《从杨辉三角谈起》的第四节“高阶等差级数”，专门论述了“高阶等差级数”的问题。我总觉得，尽管华罗庚花了最大的篇幅想要论述这个问题，然而，他却根本没有解释清楚这个问题。华罗庚的解释不仅是缺少章法，显得十分混乱，而且还极不严密，疏漏很大，由此反映了华罗庚，对于“高阶等差级数”的认识极其浮浅。其实，从杨辉经朱世杰到李善兰，对于“高阶等差级数”，已经有了一个比较系统的全面认识，难道华罗庚对于他们的数学成果竟然浑然不知。
对于数列u1，u2，…，un来说，如果其公差d=0，则称此数列为0阶等差级数。显然0阶等差级数的各项，不仅是为同一个自然数，而且还可以为任意一个自然数。若是一个数列的各项之差为一个0阶等差级数，则称这个数列为一个1阶等差级数；若是一个数列的各项之差为一个1阶等差级数，则称这个数列为一个2阶等差级数；若是一个数列的各项之差为一个2阶等差级数，则称这个数列为一个3阶等差级数；……。这就是说，一个高阶等差级数的阶数，可以有无限之大。
如果一个0阶等差级数的各项全都为1，那么由它所构造出来的高阶等差级数系列，就称为第一系列；如果一个0阶等差级数的各项全都为2，那么由它所构造出来的高阶等差级数系列，就称为第二系列：如果一个0阶等差级数的各项全都为3，那么由它所构造出来的高阶等差级数系列，就称为第三系列；……。显而易见，“易卦三角”的第一个斜列，其各项全都为1，因此其各阶等差级数全都属于第一系列。
若是将第一系列的通项表示为：ur=r（r+1）（r+2）…（r+p-1）/p！，那么其n项之和为：n（n+1）（n+2）…（n+p）/（p+1）！，p=1，2，…，n。由此得到其0阶等差级数的n项之和为：s0=1+1+1+…+1=n；其1阶等差级数的n项之和为：s1=1+2+3+…+n=n（n+1）/2；其2阶等差级数的n项之和为；s2=1+3+6+…+n（n+1）/2=n（n+1）（n+2）/6；其3阶等差级数的n项之和为；s3=1+4+10+…+ n（n+1）（n+2）/6=n（n+1）（n+2）（n+3）/24；……。
2，对于差分的定义。
华罗庚在其《从杨辉三角谈起》的第五节“差分多项式”，专门论述了差分的问题。对于这个问题，华罗庚的论述不仅混乱透顶，而且还犯下了一个十分低级的错误。其实，在中国数学里，差分的概念也是一个比较古老的概念。我国隋代的刘绰，在编制他的“皇极历”时，为了推导得到“朔”的准确时刻，所创立的等间距为二次差内插法公式，运用的就是差分原理。
此后，中国历法进入了最重要的时期。为了计算各天体在固定周期内的非均匀运动，发展了二次和三次内插法等数学方法。它们以均匀运动为基础，考虑各种非均匀运动的改正，用逐步逼近的方法力求符合天象，构成了中国历法计算的主体。唐代僧一行所编制的“大衍历”，在计算中使用了不等间距的二次差内插法，在五星运动非均匀运动的改正计算上，比刘绰的方法更为科学。
三百多年前，西方数学在发现微分的同时，也发现差分。其实，微分的概念与差分的概念基本相似，其区别仅仅是微分应用于连续数学，而差分则是应用于离散数学，因此在一般的高等数学里，是只讲微分不讲差分的，现在似乎只是在《计算数学》里，为了插值计算的问题，才介绍一点差分的内容。《计算数学》里对于差分的表示，是与高等数学里对于微分的表示完全一样的。长期以来，西方数学都是重微分轻差分的，随着电子计算机的出现，这种情况应该有所转变了。
华罗庚对于差分多项式所给出的定义1是，如果ƒ（x）是x的多项式，那么多项式ƒ（x+1）－ƒ（x）称为ƒ（x）的差分，表示为△ƒ（x）。△ƒ（x）的差分，称为ƒ（x）的二级差分，表示为△2ƒ（x）。即有△2ƒ（x）=△ƒ（x+1）－△ƒ（x）=ƒ（x+2）－2ƒ（x+1）＋ƒ（x）。因此，ƒ（x）的r级差分△rƒ（x），是它的r－1级差分△r-1－ƒ（x）的差分。如果ƒ（x）是x的m次多项式，那么△ƒ（x）则是x的m－1次多项式。依次推导下去，即知△mƒ（x），必定是一个常数，因此，当r＞m时则有△rƒ（x）=0。
华罗庚接着所讲的话，无疑给人浇了一头雾水：“从这里还很容易看出如下的事实：以k的m次多项式ƒ（k）为一般项的级数ƒ（0）+ƒ（1）+ƒ（2）+…+ƒ（n-1）+ƒ（n）是一个m阶等差级数”。华罗庚在没有定义差分多项式和整值多项式的情况下，就提出了上面这个与朱世杰的“招差术”密切相关的级数，岂不是乱套透顶。然而，直到这一节结束时，才是莫名其妙的又给出了：“ƒ（0）+ƒ（1）+ƒ（2）+…+ƒ（n-1）+ƒ（n）=akPk+1（n+1）+ ak-1Pk（n+1）+…+ a1P2（n+1）+ a0（n+1）”完全错误的等式关系。这本小册子，既然是写给中学生的课外读物，怎么可以不给出详细的推导过程。其实，如果能给出详细的推导过程，那么就会比较容易找到其中的错误。
3，差分多项式的问题。
华罗庚对于差分多项式所给出的定义2是，多项式Pk（x）=x（）x-1…（x-k+1）/k！，k≥1；P0（x）=1，称为k次差分多项式。显然，当x是一个大于或等于k的正整数n时，Pk（n）=kCn；当x是一负整数-m时，Pk（-m）=（-1）k（m+k-1）（m+k-2）…（m+1）m/k！；当x=0，1，…，k－1时，Pk（x）=0。
对于上面的差分多项式来说，我们总可以找到其一组整系数ai（i=0，1，…k），使得它们的再组合多项式：ƒ（x）=akPk（x）+ak-1Pk-1（x）+…+a1P1（x）+a0，当x取任一整数值时，这个再组合多项式也取整数值，这样的再组合多项式称为整值多项式。如何找到这一组整系数ai（i=0，1，…k），属于朱世杰“招差术”的问题，华罗庚硬是想在这一节论述这个问题，又怎么能够解释清楚。数学往往需要逆向思维，但是在论述一个数学规律时，是不能象写小说那样，采用倒述的形式的。
我们在论述一个数学规律时，首先要考虑论述的顺序，如果顺序安排正确，就可以花很小的篇幅，解释清楚非常晦涩繁琐的问题。然而，若是顺序安排不当，即使花很大的篇幅，可能连得一个十分简单的问题，也都无法解释清楚，甚至是越讲越是让人糊涂。由于华罗庚将差分多项式，与招差问题相互混杂到了一起，结果不仅没有解释清楚差分的问题，而且也是无法解释清楚后面的招差问题，其实，招差问题说到底是一个对于整值多项式的分拆的问题。对于上述整值多项式来说，当x=0，1，2，…，n时则有：
ƒ（0）=0+0+…+0+a0；
ƒ（1）=0+0+…+0+a1P1（1）+a0；
ƒ（2）=0+0+…+0+a2P2（2）+a1P1（2）+a0；
ƒ（3）=0+0+…+0+a3P3（3）+a2P2（3）+a1P1（3）+a0；
……；
ƒ（n）=anPn（n）+an-1Pn-1（n）+…+a3P3（n）+a2P2（n）+a1P1（n）+a0。
因此得到它们的和为：
ƒ（0）+ƒ（1）+ƒ（2）+…+ƒ（n-1）+ƒ（n）= [0+0+…+0+a0]+[0+0+…+0+a1P1（1）+a0]
+[0+0+…+0+a2P2（2）+a1P1（2）+a0]+[0+0+…+0+a3P3（3）+a2P2（3）+a1P1（3）+a0]
+…+[anPn（n）+an-1Pn-1（n）+…+a3P3（n）+a2P2（n）+a1P1（n）+a0]
=a0（n+1）+a1[P1（1）+P1（2）+P1（3）+…+P1（n）]
+a2[P2（1）+P2（2）+P2（3）+…+P2（n）]+a3[P3（1）+P3（2）+P3（3）+…+P3（n）]
+…+an[Pn（1）+Pn（2）+Pn（3）+…+Pn（n）]
=a0（n+1）+a1[1C1+1C2+1C3+…+1Cn]+a2[2C2+2C3+…+2Cn]+a3[3C3+…+3Cn]+…+an[nCn]
=a0s0+a1s1+a2s2+a3s3+…+ansn。