甲柱有 1～10 号盘，要移动到乙柱为 1,3,5,7,9，丙柱为 2,4,6,8,10，至少要移动几次？

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

王守恩

解这类题的关键是寻找规律，难的不会，先从简单的算起。
把1号盘移到位，需要移动1次；
把1,2号盘移到位，需要移动2次；
把1,2,3号盘移到位，需要移动5次；
把1,2,3,4号盘移到位，需要移动11次；
把1——5号盘移到位，需要移动22次；
把1——6号盘移到位，需要移动45次；
把1——7号盘移到位，需要移动91次；
把1——8号盘移到位，需要移动182次；
把1——9号盘移到位，需要移动365次；
把1——10号盘移到位，需要移动731次；

1, 2, 5, 11, 22, 45, 91, 182, 365, 731, 1462, 2925, 5851, 11702, 23405, 46811,93622,
187245, 374491, 748982, 1497965, 2995931, 5991862, 11983725, 23967451, 47934902,
95869805, 191739611, 383479222, 766958445, 1533916891,....

通项公式是这样:  a(n) = [(2^n - 1)×5/7]
中括号[a]表示取圆整，即四舍五入。

luyuanhong

谢谢楼上 王守恩 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

王守恩

luyuanhong 发表于 2018-12-4 14:26
谢谢楼上 王守恩 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

我来出道题，大家练练手(主帖的题意不变)：
甲柱有 1～15 号盘，要移动到乙柱为 1,4,7,10,13，
丙柱为 2,5,8,11,14，甲柱为 3,6,9,12,15，至少要移动几次？

王守恩

王守恩 发表于 2018-12-4 19:01
我来出道题，大家练练手(主帖的题意不变)：
甲柱有 1～15 号盘，要移动到乙柱为 1,4,7,10,13，
丙柱 ...

  第 2 道题，大家练练手(主帖的题意不变)：
甲柱有 1～15 号盘，要移动到乙柱为 2,5,8,11,14，
丙柱为 3,6,9,12,15，甲柱为 1,4,7,10,13，至少要移动几次？

  第 3 道题，大家练练手(主帖的题意不变)：
甲柱有 1～15 号盘，要移动到乙柱为 3,6,9,12,15，
丙柱为 1,4,7,10,13，甲柱为 2,5,8,11,14，至少要移动几次？

王守恩

王守恩 发表于 2018-12-5 15:04
第 2 道题，大家练练手(主帖的题意不变)：
甲柱有 1～15 号盘，要移动到乙柱为 2,5,8,11,14，
丙柱为 ...

谢谢陆老师！这是一道好题。
我把3道题一起解答了。

15个盘太大了，我们退回去：
甲柱有 1个盘，出3道题，
甲柱有 2个盘，出3道题，
甲柱有 3个盘，出3道题，
......则有：
                 第1题   第2道题   第3道题
共有01个盘      1         0            1
共有02个盘      2         3            1
共有03个盘      2         5            7  
共有04个盘     15        5           10
共有05个盘     21        31          10
共有06个盘     21        42          63
共有07个盘    127       42          85
共有08个盘    170      255         85
共有09个盘    170      341        511
共有10个盘   1023     341         682
共有11个盘   1365     2047       682
共有12个盘   1365     2730      4095
共有13个盘   8191     2730      5461
共有14个盘  10922    16383     5461
共有15个盘  10922    21845    32767  
  
3道题有一个共同的数字串(反复利用)：
0,1,2,5,10,21,42,85,170,341,682,1365,2730,5461,10922,32767,....

这个数字串的通项公式： a(n)=2^n/3+cos(npi)/6-1/2=2^n/3+(-1)^n/6-1/2=[(2^(n+1)-3)/6]。

把1个盘，2个盘，3个盘,....的移法搞清楚
关键是把1个盘，2个盘，3个盘,....的移法搞清楚
解题的关键是把1个盘，2个盘，3个盘,....的移法搞清楚
只要你把1个盘，2个盘，3个盘,....的移法搞清楚了，后面的就简单了。
如果你对后面的移法搞不清楚，请你回到前面：把1个盘，2个盘，3个盘,....。
还是这句话：只要你把1个盘，2个盘，3个盘,....的移法搞清楚了，后面的就简单了。


         

王守恩

谢谢陆老师！这绝对是一道好题！爱不释手！
对不起！陆老师！我还是把主帖再拓展一下。

第1道题。甲柱有 1～10 号盘，要移动到乙柱为 1,3,5,7,9，
丙柱为 2,4,6,8,10，至少要移动几次？。
第2道题。甲柱有 1～10 号盘，要移动到乙柱为 2,4,6,8,10，
甲柱为 1,3,5,7,9，至少要移动几次？
第3道题。甲柱有 1～10 号盘，要移动到乙柱为 1,3,5,7,9，
甲柱为 2,4,6,8,10，至少要移动几次？

我把3道题一起解答了。
10个盘太大了，我们退回去：
甲柱有 1个盘，出3道题，
甲柱有 2个盘，出3道题，
甲柱有 3个盘，出3道题，
......则有：
                 第1题   第2道题   第3道题
共有01个盘      1         0            0
共有02个盘      2         3            1
共有03个盘      5         3            6  
共有04个盘     11        13           6
共有05个盘     22        13          27
共有06个盘     45        54          27
共有07个盘     91        54        109
共有08个盘    182      219        109
共有09个盘    365      219        438
共有10个盘    731      877        438

第1个数字串：1, 2, 5, 11, 22, 45, 91, 182, 365, 731, 1462, 2925, 5851, 11702, 23405, 46811,
93622,187245, 374491, 748982, 1497965, 2995931, 5991862, 11983725, 23967451, 47934902,
95869805, 191739611, 383479222, 766958445, 1533916891,....
通项公式是这样:  a(n) = [(2^n - 1)×5/7]
中括号[a]表示取圆整，即四舍五入。

第2个数字串：0, 1, 3, 6, 13, 27, 54, 109, 219, 438, 877, 1755, 3510, 7021, 14043, 28086,
56173, 112347, 224694, 449389, 898779, 1797558, 3595117, 7190235, 14380470, 28760941,
57521883, 115043766, 230087533, 460175067, 920350134, 1840700269,........
通项公式是这样:  a(n) = [(2^n - 1)×3/7]
中括号[a]表示取圆整，即四舍五入。

把1个盘，2个盘，3个盘,....的移法搞清楚
关键是把1个盘，2个盘，3个盘,....的移法搞清楚
解题的关键是把1个盘，2个盘，3个盘,....的移法搞清楚
只要你把1个盘，2个盘，3个盘,....的移法搞清楚了，后面的就简单了。
如果你对后面的移法搞不清楚，请你回到前面：把1个盘，2个盘，3个盘,....。
还是这句话：只要你把1个盘，2个盘，3个盘,....的移法搞清楚了，后面的就简单了。

王守恩

再出4道题，大家练练手(主帖的题意不变)：

第 1 道题。
甲柱有 1～20 号盘，要移动到乙柱为 1,5,9,13,17，
丙柱为 2,6,10,14,18，丁柱为 3,7,11,15,19，
甲柱为 4,8,12,16,20，至少要移动几次？

第 2 道题。
甲柱有 1～20 号盘，要移动到乙柱为 2,6,10,14,18，
丙柱为 3,7,11,15,19，丁柱为 4,8,12,16,20，
甲柱为 1,5,9,13,17，至少要移动几次？

第 3 道题。
甲柱有 1～20 号盘，要移动到乙柱为 3,7,11,15,19，
丙柱为 4,8,12,16,20，丁柱为 1,5,9,13,17，
甲柱为 2,6,10,14,18，至少要移动几次？

第 4 道题。
甲柱有 1～20 号盘，要移动到乙柱为 4,8,12,16,20，
丙柱为 1,5,9,13,17，丁柱为 2,6,10,14,18，
甲柱为 3,7,11,15,19，至少要移动几次？

王守恩

谢谢陆老师！我把主帖拓展一下。
甲柱有 1～15 号盘，要移动到乙柱 5 个盘，丙柱 5 个盘，
甲柱自留  5 个盘。要使每根柱上 5 个数的和都是40，
至少要移动多少次？(汉诺塔问题的移动规则不能变)

王守恩

谢谢陆老师！谢谢YAG！这绝对是道好题！思路开阔起来！
小结。3柱汉诺塔问题。
甲柱有 1～n 号盘，甲柱自留n,n-2,n-4,n-6,n-8,......,
乙柱为n-1,n-3,n-5,n-7,n-9,......, 至少要移动几次？

解这类题的关键是寻找规律，大的不行，小的算起。
把1号盘移到位，需要移动0次；
把1,2号盘移到位，需要移动1次；
把1,2,3号盘移到位，需要移动3次；
把1,2,3,4号盘移到位，需要移动6次；
把1——5号盘移到位，需要移动13次；
把1——6号盘移到位，需要移动27次；
把1——7号盘移到位，需要移动54次；
把1——8号盘移到位，需要移动109次；
把1——9号盘移到位，需要移动219次；
...................

这串数是：0, 1, 3, 6, 13, 27, 54, 109, 219, 438, 877, 1755, 3510, 7021, 14043, 28086,
56173, 112347, 224694, 449389, 898779, 1797558, 3595117, 7190235, 14380470, 28760941,
57521883, 115043766, 230087533, 460175067, 920350134, 1840700269,........

通项公式是这样:  a(n) = [(2^n - 1)×3/7]
中括号[a]表示取圆整，即四舍五入。

如果把这串数写成二进制：0,1,11,110,1101,11011,110110,1101101,11011011,110110110,
1101101101,11011011011,110110110110,1101101101101,11011011011011,110110110110110,
1101101101101101,11011011011011011,110110110110110110,1101101101101101101,.........

把1个盘，2个盘，3个盘,....的移法搞清楚
关键是把1个盘，2个盘，3个盘,....的移法搞清楚
解题的关键是把1个盘，2个盘，3个盘,....的移法搞清楚
只要你把1个盘，2个盘，3个盘,....的移法搞清楚了，后面的就简单了。
如果你对后面的移法搞不清楚，请你回到前面：把1个盘，2个盘，3个盘,....。
还是这句话：只要你把1个盘，2个盘，3个盘,....的移法搞清楚了，后面的就简单了。