设 Mk=P1P2…Pk 是由小到大前 k 个质数的乘积，已知 Mt-Ms=510300 ，求 t+s

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

luyuanhong

题  设 Mk = P1P2…Pk 是由小到大前 k 个质数的乘积，已知 Mt - Ms = 510300 ，求 t + s 。

解  510300 = Mt - Ms = P1P2…PsPs+1…Pt - P1P2…Ps = P1P2…Ps(Ps+1Ps+2…Pt - 1) 。

    因为 510300 = 2^2×3^6×5^2×7 ，只含有前 4 个质数因子：2,3,5,7 ，可见有

    P1P2…Ps = 2×3×5×7 ，Ps+1Ps+2…Pt - 1 = 2×3^5×5 = 2430 。

    也就是有 Ps+1Ps+2…Pt = 2430 + 1 = 2431 = 11×13×17 。

    由此可见，Mt = P1P2…PsPs+1…Pt = 2×3×5×7×11×13×17 是前 7 个质数的乘积，

    Ms = P1P2…Ps = 2×3×5×7 是前 4 个质数的乘积，所以 t = 7 ，s = 4 。

    因此有 t + s = 7 + 4 = 11 。