求证: 平面内一定存在两条相互垂直的直线将任意封闭区域平分成四份

luyuanhong

这是网友 西西 发表的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

求证: 平面内一定存在两条相互垂直的直线将任意封闭区域平分成四份

ataorj

二维物件也有自己的重心,过重心任意做一直线可等半分割物件,再做出垂直线即可。

ataorj

答案可能有问题。分成两半后,各自重心连线....

luyuanhong

ataorj

我也做了思考，先贴上，再学习陆老师的。
如图,过重心的两个垂直线分割的四部分面积总存在如下关系:
a=A,b=B
为简略,我的叙述不严谨。
问题是要证明,垂直线不动而物件转动90°过程中至少一个位置使得a=b
证明如下:
设a<=b,我们让a处于其最小值时的位置,然后逐次加大a(当然也可能若干位置的a相等),必然会出现a=b的情形。
因为a不可能永远小于b,比如相对于上次位置,现在是a向b输送一块面积t时,a也同时从B获得一块面积T,由于要求获得面积总是不小于失去面积(要求位置为"逐次加大"面积),只要保证不同位置可以串联成"连续性"就必然有a=b情形出现。首先任何一个位置开始的面积变化都可以做到非陡然,最小值时的a不会陡然变成最大值时的B。。。

ataorj

陡然情形时总有个方向可以逐渐微弱减小（旋转微小角度即可）。