素数出现率等于零的观点不符合无穷小量比较的极限基础理论

愚工688

素数出现率等于零的观点不符合无穷小量比较的极限基础理论

通常素数的出现概率有二种表示方法：

一. 依据素数定理：
在x→∞时，x之内的素数数量有
π(x)=x/lnx ；（式1）

把（式1）的两边除以x,
  就是π(x)/x=1/lnx;  (式2）
式2的左边就是素数实际发生率；右边就是依据素数定理得出的素数理论发生率；

根据素数定理，x→∞时，π(x)→∞，这是实际能够观察到的现象。
但是，依据素数定理，能否得出素数发生率 1/lnx趋向无穷小吗？

《数论导引》（华罗庚编著）93页定理：x→∞时 π（X)/x →0；
也就是说：x→∞时  1/lnx→0；

可是实际上 x与lnx是完全不同类型的两类数，怎么能把x→∞时1/x→0的极限硬搬到1/lnx上面，轻易得出在x→∞时1/lnx→0 的结论？

x值与lnx的对比：

当x取10^n的指数形式时，由换底公式，lnx=lgx/lge，
即 1/lnx=lge/n ≈0.4342944819/n

因此有：

1/lnx=0.1；n≈4.342944819；lnx/x ≈1/10^3.342944819;
1/lnx=0.01；n≈43.42944819 ；lnx/x ≈1/10^41.42944819；
1/lnx=0.001；n≈434.2944819 ；lnx/x ≈1/10^431.2944819；
1/lnx=0.0001；n≈4342.944819 ；lnx/x ≈1/10^4338.944819；
……
试问：
当x→∞时，lnx在x中的比率急剧减小→0的情况下，在lnx/π(X)也快速趋于零的情况下，怎么能够说lnx随x趋向无穷大？而素数出现率π(X)/x的比值为零？
因此只能说在x→∞时lnx的增大是有限且缓慢的，是不可能趋向无穷大的，也就是1/lnx是不可能趋向无穷小。


而从教科书上对于无穷小量的阶的概念做确切的叙述：（摘自《高等数学》教材28页，书号：13012.096）
设u,v是两个无穷小量，即lim u=0,lim v=0,
(1)若 lim u/v =0 ,这说明分子u趋于0的速度比分母v趋于0的速度要快得多，则称为u为比v高价的无穷小量，记为u=0(v);
(2)若 lim u/v =∞ ,这说明分母v趋于0的速度比分子u趋于0的速度要快得多，则称为u为比v低价的无穷小量；
(3)若 lim u/v =a (a≠0 ),这说明分子u与分母v趋于0的速度差不多，则称为u与v 为同阶的无穷小量；
(4)若 lim u/v =1 ,这说明分子u与分母v趋于0的速度一样，则称为u与v 是等阶的无穷小量，记作u～v。

由于素数出现率π(x)/x实际上就是两个无穷小量的比较：
x→∞时，有 lim 1/x→0；  lim 1/π(x)→0 ；
那么这两个无穷小量的比较是怎么样的呢？
引入一个已知的无穷小量 1/√x ，大家知道1/x 是比1/√x 高阶的无穷小量,(1/x)/(1/√x)=√x/x = 1/√x →0 .
那么1/π(x)的阶与它们比较是怎么样的？
考察一下x→∞的过程中，[1/π(x)] /(1/√x)、 (1/√x)以及π(x)/x 的值变化：


x=10^2, π(10^2)=25;        √x/π(x) = 0.4 ;      (1/√x)=0.1；  π(x)/x = .25 ;
x=10^4,π(10^4)=1229;       √x/π(x) ≈0.08137 ;  (1/√x)=1e-2； π(x)/x = .1229;
x=10^8,π(10^8)=5761455,    √x/π(x) ≈0.001736 ; (1/√x)=1e-4； π(x)/x ≈ .0576146;
x=10^10,π(10^10)=455052511 √x/π(x) ≈0.0002198; (1/√x)=1e-5； π(x)/x ≈ .0455053; (0.789822)——1e10与1e8 素数出现率比；
x=10^12,π(10^12)=3760……；√x/π(x) ≈2.659e-5 ; (1/√x)=1e-6； π(x)/x ≈ .0376079; (0.826451)——1e12与1e10素数出现率比；
x=10^14,π(10^14)=3204……；√x/π(x) ≈3.1202e-6; (1/√x)=1e-7； π(x)/x ≈ .0320494; (0.852199)——1e14与1e12素数出现率比；
x=10^16,π(10^16)=2792……；√x/π(x) ≈3.58e-7 ;  (1/√x)=1e-8； π(x)/x ≈ .0279238; (0.871274)——1e16与1e14素数出现率比；
x=10^18,π(10^18)=2473……；√x/π(x) ≈4.042e-8 ; (1/√x)=1e-9； π(x)/x ≈ .02473995;(0.885981)——1e18与1e16素数出现率比；
x=10^20,π(10^20)=2220……；√x/π(x) ≈4.503e-9 ; (1/√x)=1e-10；π(x)/x ≈ .0222082; (0.897665 ——1e20与1e18素数出现率比；
x=10^22,π(10^22)=2014……；√x/π(x) ≈4.964e-10; (1/√x)=1e-11；π(x)/x ≈ .0201467; (0.907174)——1e22与1e20素数出现率比；


从实验比较的数据显示：
1，∵ x→∞时 lim √x/π(x)比值很快的趋小,趋近于0 ；
     ∴1/π(x) 是比1/√x高价的无穷小.

2，因为 1/x与1/π(x)都是比1/√x 高价的无穷小量，且 π(x)/x ≠ 1，故1/x与1/π(x)是同阶无穷小量。
     依据 α(x)与β(x)是同阶无穷小量的比较定理，得出
     x→∞时 lim π(x)/x = C ≠0 ，即具有一个不为0的常数值。

3，随数 x=10^n 的n值的一步步增大，素数出现率的下降速率呈现越来越慢，10^(n+2)与10^n内的素数出现率之比逐渐趋近1的趋势是很明显的，其必然会逐渐达到0.99、0.999、0.9999、……，其时素数出现率π(x)/x 的极限必将趋于一个不为0的常数。

由此可见：“x→∞时 π(x)/x →0” 的结论与教科书上对于无穷小量比较的法则呈现矛盾。


二，素数出现率的另外一种表示方法

  由自然数x中不能被≤√x 的全部素数p整除的数得出的数位素数，可以得出素数出现率
    p(x)=π(1-1/p）;-------（式3）
    式中： 2≤p≤√x ，π表示随数x变化时括号内素数p值的连乘。

  这里的素数出现率 π(1-1/p）是一个近似数值，其与实际的素数出现率π(x)/x 存在一定的小偏差。这里忽略偏差问题，仅仅讨论概率方式得出的素数出现率 π(1-1/p）的极限问题。
   那么当 x→∞时，p→∞,此时 lim π(1-1/p）→？ 又将如何呢？
  我们同样依据两个无穷小量的阶的概念，来分析π(1-1/p）的极限：
  
  π(1-1/p）=π[(p-1)/p] =π(p-1)／π(p)；
  在x→∞时，有 p→∞.
  因此有 π(p-1)→∞与π(p）→∞ ,
  它们的倒数 π[1/(p-1)]→0 、π[1/(p)]→0 则是两个无穷小量。
  因此 π[1/(p)]/π[1/(p-1)] 的比值的极限，取决于两个无穷小量相互间阶的高低，也就是它们趋向于0的速度比较。
  
  现在我们再来看看 x→∞过程中这两个无穷小量它们趋于0的速度的比较是怎么样呢？
  
实验数据摘录：
p( 2 )= 3  , 1/π(p)= .3333333 , 1/π(p-1)= .5
p( 3 )= 5  , 1/π(p)= 6.667D-02 , 1/π(p-1)= .125
p( 4 )= 7  , 1/π(p)= 9.524D-03 , 1/π(p-1)= 2.083333E-02
p( 5 )= 11  , 1/π(p)= 8.658D-04 , 1/π(p-1)= 2.083333E-03
p( 6 )= 13  , 1/π(p)= 6.660007E-05 , 1/π(p-1)= 1.736111E-04
……
p( 135 )= 761  , 1/π(p)= 1.59E-318 , 1/π(p-1)= 9.469E-318
p( 136 )= 769  , 1/π(p)= 2.07E-321 , 1/π(p-1)= 1.233E-320
p( 137 )= 773  , 1/π(p)= 0 , 1/π(p-1)= 0  
（这是电脑在中精度数值运算时做的判断同个p值两个无穷小量等于0 ，在高精度数值运算时相同，如下）

……
p( 135 )= 761  , π[1/(p)]= 1.592007967968415D-318 , π[1/(p-1)]= 9.46898549143166D-318
p( 136 )= 769  , π[1/(p)]= 2.070135056074823D-321 , π[1/(p-1)]= 1.23269378637391D-320
p( 137 )= 773  , π[1/(p)]= 0 , π[1/(p-1)]= 0
p( 138 )= 787  , π[1/(p)]= 0 , π[1/(p-1)]= 0


  显然两个无穷小量π[1/(p-1)]→0 、π[1/(p)]→0 趋于0的速度差不多，但是  π[1/(p)]÷π[1/(p-1)]≠1，故两者必然是同阶无穷小量。
  依据同阶无穷小量比较定理：
   x→∞时,（素数 p≤√x ）
  lim{π[1/(p)]/π[1/(p-1)]}=lim x→∞时π(1-1/p)]=lim π(1-1/p）= C ≠0 .
  这就是任意一个鼓吹x→∞时lim[π(1-1/p)]=0 的人，你让他说出π(1-1/p)=0.01的具体p值时都不敢正面回答问题的原因，更别说π(1-1/p)=0.001的具体p值了。

  很显然，依据无穷小量比较法则得出的结论与数学界的在x→∞时π(1-1/p)的极限值→0 的观点是矛盾的。（见王元《谈谈素数》章节12. 素数的出现概率为零）。

也许有人会说：
x→∞时π（X)/x →0；π(1-1/p)的极限值→0 是被国外某著名大师已经证明了的“定理”，
那么为什么这个“定理”会不符合无穷小量比较的极限基本理论呢？
为什么这个“定理”与事实的素数出现是趋于无穷多，素数出现率下降的速率越来越慢的现象矛盾呢？
是无穷小量比较的极限基本理论发生错误的可能性大还是这个素数出现率等于0的“证明”发生错误的可能性大呢？
值得各位有思考能力的读者深思！

  
  

愚工688

在目前我知道的素数数量是π(10^25)，前面已经发了,π(10^22)=201467286689315906290；
我们可以看看数每扩大10倍时素数的数量扩大的倍数，是否越来越趋近与10倍？
k(10^22)= π(10^23)/π(10^22) ；
x=10^23,π(10^23)=1925320391606803968923, k(10^22)≈9.5568；
x=10^24,π(10^24)=18435599767349200867866，k(10^23)≈9.57534；
x=10^25,π(10^25)=176846309399143769411680，k(10^24)≈9.59265；
……
因此素数出现率趋于0的观点不仅仅不符合完全小量比较的极限判断法则，也是不符合实际上素数出现数量的变化规律的。

当然如果从素数出现率的变化率假设从某数起基本保持不变；比如π(10^24)，
那么可以计算出：
（10-9.57534）/（9.57534-9.5568）=22.91
即只需要指数n再增大23就可以使得K（10^47)=π(10^47)/π(10^46)→10;

而素数出现率的变化率假设π(10^25)起基本保持不变的素数数据计算：
（10-9.59265）/（9.59265-9.57534）=23.5；
则需要指数n在增大24就可以使得K（10^49)=π(10^49)/π(10^48)→10;

可以看到，在n增大以后实际假设素数出现率的变化率不变→10的所需n的增量并没有缩小，由此可以推断出：
假设素数出现率的变化率不变的假设是不成立的。
随数 10^n的指数n的不断增大，素数出现率的变化率会越来越小，但是趋小的变化率会越来越缓慢。
素数数量的比值K（10^n）=[π(10^(n+1)/π(10^n]→10的趋势是不会改变的，
但是永远不会达到 K（10^n）=[π(10^(n+1)/π(10^n]=10 的情况。
这也可以看出所谓的
x→∞时素数发生率：π(x)/ x →0 的观点是不符合事实素数发生情况的。

愚工688

为什么数学家可以视x→∞时素数发生数π(x)→∞的事实而不见，轻易的作出
x→∞时素数发生率：π(x)/ln x →0
的既不符合事实素数发生情况的也不符合无穷小量比较法则的极限判断结论呢？
搞不懂。

正如卖矛盾者说：
他的矛锋利无比，可以戳穿任意的盾；他卖的盾坚固无比，可以抵抗任意的矛；
但是用他的矛戳他的盾，结果会怎么样呢？

同理，数学家既然要说：π(x)/lnx →0
那么 根据无穷小量比较的阶的概念，是否应该证明一下1/lnx 比1/π(x)的阶高呢？
  π(x)/lnx=（1/lnx）/（1/π(x)）

教科书上对于无穷小量的阶的概念做确切的叙述：（摘自《高等数学》教材28页，书号：13012.096）
设u,v是两个无穷小量，即lim u=0,lim v=0,
(1)若 lim u/v =0 ,这说明分子u趋于0的速度比分母v趋于0的速度要快得多，则称为u为比v高价的无穷小量，记为u=0(v);
(2)若 lim u/v =∞ ,这说明分母v趋于0的速度比分子u趋于0的速度要快得多，则称为u为比v低价的无穷小量；
(3)若 lim u/v =a (a≠0 ),这说明分子u与分母v趋于0的速度差不多，则称为u与v 为同阶的无穷小量；
(4)若 lim u/v =1 ,这说明分子u与分母v趋于0的速度一样，则称为u与v 是等阶的无穷小量，记作u～v。

njzz_yy

”素数出现率等于零“：是个伪命题，逻辑不通，不值一提

愚工688

njzz_yy 发表于 2019-12-7 01:40
”素数出现率等于零“：是个伪命题，逻辑不通，不值一提

与数学家建立的极限基础理论无穷小量的阶的判断相互矛盾，正如卖矛者说的那样，没有可信度。

愚工688

愚工688 发表于 2019-12-7 12:23
与数学家建立的极限基础理论无穷小量的阶的判断相互矛盾，正如卖矛者说的那样，没有可信度。

那些“砖家”一面讲素数无穷多，一面讲素数的出现率趋于0，自相矛盾者也！

wangyangke

愚公移山，预言，千古绝唱！
愚公“素数出现率等于零的观点不符合无穷小量比较的极限基础理论”，错了！
熊一兵，傻瓜蛋！

wangyangke

愚公移山，预言，千古绝唱！
愚公“素数出现率等于零的观点不符合无穷小量比较的极限基础理论”，错了！
熊一兵，傻瓜蛋！

愚工688

wangyangke 发表于 2019-12-8 23:35
愚公移山，预言，千古绝唱！
愚公“素数出现率等于零的观点不符合无穷小量比较的极限基础理论”，错了！
...

请把具体内容写出来，而不是用标题的方法。

我的观点“素数出现率等于零的观点不符合无穷小量比较的极限基础理论”
我的观点在3#写清楚了，你说错可以指出哪里错，哪里不符合实际情况？

大傻8888888

有些人认为自己水平很高，比专业人士都能干，非要去挑战最基本的数学常识和数学问题，结果只能证明自己的愚蠢，搬起石头砸自己的脚而已。'