已知定角 90°＜α＜180°，定圆 O 内有定点 A ，求作圆 O 的直径 BC ，使得 ∠BAC=α

Ysu2008

ataorj

作法:
1,任做一直径DE,角一边取一点H,另一边做G并使得HG=DE
2,做F使得DF=GI,EF=HI
3,做三点DEF的圆P
4,做OA圆交圆P于M,N
5,DE绕O旋转角MOA得到BC
6,类似地由N可得另一个BC,略.

提示:
DE中垂线上取一点Q使得角DQE=HIG,
然后做OQ圆,A在该圆内时题目无解.

谢芝灵

一）以定点A’点为角的顶点，任做一个角α，使得：90度＜α ＜180度。
二）在α角的两条边上分别任取两点B’C’，连结后得到三角形A‘B’C‘。且∠B’A‘C’=α
三）以B’C’长在另一处画线段 BC，再以 BC长为直径做一个圆。
四）以B点为圆心，B’A‘长为半径画弧；再以C点为圆心，C’A‘长为半径画弧；
     两弧相交于一点记为A。
连结AB；AC，得到三角形ABC
可证得： 三角形ABC≌三角形A‘B’C‘
得：∠B’A‘C’=α =∠BAC=α

Ysu2008

ataorj 发表于 2018-12-16 09:18
作法:
1,任做一直径DE,角一边取一点H,另一边做G并使得HG=DE
2,做F使得DF=GI,EF=HI

能否给一个证明？

Ysu2008

ataorj 发表于 2018-12-16 09:18
作法:
1,任做一直径DE,角一边取一点H,另一边做G并使得HG=DE
2,做F使得DF=GI,EF=HI

似乎有问题，我按你的方法作了，但最后量出的角度不相等。

ataorj

抱歉，其实是M和DE同时旋转，你看你的不是，因为角EAC方向反了
另外，我没说旋转方向也是不严谨的地方。几何画板默认以描述角度时比如旋转量是角ABC，若A绕B向C是顺时针则旋转也为顺时针

ataorj

几何画板可能有问题
不论几何画板如何,这里特注:1,这里比如说OA圆是说以O为圆心OA为半径的圆
2,因为圆周关系,描述时角DQE可能>180度,但是没说明时,我们指角DQE<=180度
3,我们说旋转量为角度ABC时,角度ABC还表明了旋转方向.若是A绕B至C是顺时针则旋转方向也为顺时针,否则为逆时针

为做出Q,改下作法:
1,如图,AO垂直于直径DE,角I两边上任取K,J;使得IK=IJ
2,IL=JK,IR=DE
3,RG//LJ,GH//JK,则IG=IH且GH=IR=DE[因为GH/JK=IG/IJ=IR/IL=DE/JK,即GH/JK=DE/JK,则GH=IR=DE]
4,DQ=EQ=IG,则△DQE≌△GIH,角DQE=GIH
5,做三点DEQ的圆P[灰色圆]
6,做OA圆[虚线圆]交圆P于M,N
7,显然圆P上角DME=DQE[=GIH]
OM=OA
所以DE和M绕O旋转一个角度角MOA后,M到达A,DE当下的新位置就是要求的BC[所谓旋转主要是做角,详略]
8,类似地由N可得另一个BC,略.

提示:做OQ圆[红色圆],A在该圆内时题目无解.为什么呢?
如图,红圆上非直线OQ上任取一点S,显然角DTE=DQE,角DSE>DTE,所以角DSE>DQE,Q是允许A最接近O的位置,即OA允许最小距离为OQ,红圆是A的内界限圆,否则题目无解[其实,显然地,若OA<OQ则OA圆和灰圆不会有交点M和N]

Ysu2008

ataorj 发表于 2018-12-17 16:16
几何画板可能有问题
不论几何画板如何,这里特注:1,这里比如说OA圆是说以O为圆心OA为半径的圆
2,因为圆 ...

我理解你的作法了，你是对的。
最后一步可以不用旋转，用作全等三角形在叙述上可能更方便些。待我有时间整理一下发上来。

ccmmjj

是一个好问题，值得思考。

ataorj

Ysu2008 发表于 2018-12-17 13:15
似乎有问题，我按你的方法作了，但最后量出的角度不相等。

我观察了下，你的A位置正确，这时你旋转了角AOM而非MOA，所以不是几何画板有问题。