请教陆教授关于卷积和拉氏变换的问题

qingjiao

陆教授好！我一直不太明白卷积的几何意义，能否画个简单的图说明一下？除拉氏变换，傅氏变换外，卷积在实际问题中有何作用？
另外，设F1(s)=L[f1(x)]，F2(s)=L[f2(x)]
以下几种情况的拉氏变换有无简单的公式或计算方法？
(1)L[f1(x)×f2(x)]
(2)L[∫f1(x)×f2(x)dx]
(3)L[df1(x)×f2(x)/dx]
(4)L[logf1(x)]
×代表两函数相乘，不是卷积。(2)是相乘后再积分，(3)是相乘后再求导，(4)取自然对数。
最后，哪里可以下载较齐全的拉氏变换表？
谢谢！

qingjiao

[这个贴子最后由qingjiao在 2010/09/02 11:03pm 第 1 次编辑]


我是学电子的。电子技术中经常出现不同信号的互相调制，这时就会出现f1(t).f2(t)。
一般电子技术教材中是把f1(t)和f2(t)分成若干不同频率的正弦或余弦信号，其相互调制就是Fk(k1w1+/-k1w2)。主项为F(w1+/-w2)。但这只是频域的分析，而且比较粗略。如能直接得到f1(t).f2(t)就是时域的精确表达。

luyuanhong

下面引用由qingjiao在 2010/09/02 04:29pm 发表的内容：
陆教授好！我一直不太明白卷积的几何意义，能否画个简单的图说明一下？除拉氏变换，傅氏变换外，卷积在实际问题中有何作用？ ...

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/09/06 09:58am 第 1 次编辑]

下面引用由qingjiao在 2010/09/02 04:29pm 发表的内容：
另外，设F1(s)=L［f1(x)］，F2(s)=L［f2(x)］以下几种情况的拉氏变换有无简单的公式或计算方法？
(1)L［f1(x)×f2(x)］
(2)L［∫f1(x)×f2(x)dx］
(3)L［df1(x)×f2(x)/dx］
(4)L［logf1(x)］
×代表两函数相乘，不是卷积。(2)是相乘后再积分，(3)是相乘后再求导，( ...

两个函数的乘积的 Laplace 变换，没有简单的公式，只能展开成级数的形式：

qingjiao

首先再次感谢陆教授的热情帮助！
我以前学过概率，但比较肤浅，很多概念也忘记得差不多了。所以第一张图有些问题：
1.概率密度是某点处的概率还是某点处的概率/坐标？例如fx(x)，是X事件在[0,1]区间发生概率为1，其他发生概率为0？还是在0.2处发生概率0.2，0.3处发生概率0.3......？
2.X+Y是X和Y均发生的概率，还是X或Y任一发生的概率？
3.原来X、Y函数的区间为[0,1]，怎么X+Y的新区间为[0,2]？这是不是说，由于有两个事件，故最多同时发生2个事件，而必然发生两个事件的概率和概率密度都为0？必然发生1个事件的概率和概率密度都为1？
4.第三图，∫(u^/2)du=u^3/6，区间[0,1]内定积分1/6；
3/4-(u-3/2)^2=3/4-u^2+3u-9/4=-u^2+3u-3/2，∫(-u^2+3u-3/2)du=-u^3/3+3u^2/2-3u/2，[1,2]内定积分=(-8/3+3*4/2-3)-(-1/3+3/2-3/2)=2/3；
区间[2,3]和[0,1]对称。
故曲线总面积=1/6+2/3+1/6=第二图=第一图的每个X、Y？
推论：N个如X、Y、Z的随机事件卷积后的曲线面积≡1？

luyuanhong

下面引用由qingjiao在 2010/09/03 02:41pm 发表的内容：
首先再次感谢陆教授的热情帮助！
我以前学过概率，但比较肤浅，很多概念也忘记得差不多了。所以第一张图有些问题：
1.概率密度是某点处的概率还是某点处的概率/坐标？例如fx(x)，是X事件在区间发生概率为1，其他 ...

qingjiao

陆教授的讲解很清晰，谢谢了！
这么简单的概念都忘记了，实在惭愧。。。

luyuanhong

下面引用由qingjiao在 2010/09/02 04:29pm 发表的内容：
另外，设F1(s)=L［f1(x)］，F2(s)=L［f2(x)］以下几种情况的拉氏变换有无简单的公式或计算方法？
(1)L［f1(x)×f2(x)］
(2)L［∫f1(x)×f2(x)dx］
(3)L［df1(x)×f2(x)/dx］
(4)L［logf1(x)］
×代表两函数相乘，不是卷积。(2)是相乘后再积分，(3)是相乘后再求导，( ...

lauv

luyuanhong 发表于 2010-9-10 08:39

教授，有没有简单方法啊

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子，可供参考：