地图和极大图证明四色猜测的对照

雷明85639720

地图和极大图证明四色猜测的对照
雷  明
（二○一八年十二月二十一日）
（这里我发不上图，请到《中国博士网》中去看）

对地图的面的着色就是相当于对其对偶图的顶点着色。地图是一个3—正则有平面图，其对偶图则是一个极大的平面图。地图的各顶点（三界点）都连着三条边界线，其对偶图的各个面则都是三角形面。地图中一个面可与不同数量的面相邻，其对偶图的各顶点则连有不同数量的顶点。
1、图１是一个图匡内只有1、2、3三个区划的地图，分别用了A、B、C三种颜色对区划着色，其对偶图是一个有三个顶点的极大图，也用了三种颜色对顶点着色。

2、若在一个区划内（如区划1内）增加一个区划4（国中之国）（如图3），也相当于在极大图的顶点1上邻接一个悬掛顶点（如图4），都还有颜色B和C可以使用（图中用了B）。
3、若在两个区划（如区划2和3）的边界线上增加一个区划5（两国夹国）（如图5），也相当于在极大图的两个顶点2和3间增加一个2—度顶点，原来的两个顶点间就有了两条平行边（如图6），还有颜色A可用。

4、若在三个区划（如区划1、2、3）的“三界点”上增加一个区划6（三国环国）（如图7），也相当于在极大图的一个三角形面1—2—3—1内增加了一个顶点，且于1、2、3三个顶点均相邻，已无颜色可着，只能第四种颜色D。

若把上述地图的无限面显示出来，则地图中又相当于增加了一个面7（如图9），也相当于在极大图的面1—2—3—1外面再增加了一个顶点，也与1、2、3三个顶点均相邻，也已无颜色可着，也只能第四种颜色D。
如果把上述地图中的无限面7看作地球上的“海洋区划”，那么在这个区划内再增加区划时，就相当于海洋中的岛屿（如图11），也相当于在极大图中的顶点7上悬掛了多个顶点，还有1、2、3三种颜色可任意使用（如图12）。

在这个地图的基础上，任意的在图中增加区划，都不会用到四种以外的颜色。因为地图中的顶点都是三界点，在这个三界点上增加一个区划，最大只能与三个区划相邻，也都还有第四种颜色可着。而地图的对偶图——极大图的面均是三角形面，在极大图的面中增加一个顶点最大也只能与三个顶点相邻，也还有一种颜色可着。这就证明了地图和极大图的四色猜测是正确的。
极大图的四色猜测是正确的，那么，由其增减顶点或边所得到的任意平面图的色数也只会减少，而不会再增加，所以说任意平面图的四色猜测也是正确的。有人说地图中存在有四个以上（包括四个）国家共点的情况，既然正规地图是可4—染色的，那么从正规地图中去掉一个相邻区划数大于三的区划后，就产生了四个以上区划共点的情况，这时地图的色数也只会减少而不会增加。所以说四色猜测无论对于正规地图还是非正规地图都是适用的，也都是正确的。

雷  明
二○一八年十二月二十一日于长安

注：此文已于二○一八年十二月二十一日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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