【INTEGRATION】/【1】这个积分，是不是没办法积分的啊？

dodonaomikiki

一时半会儿，思路找不到

dodonaomikiki

继续思考，坚持不懈！

dodonaomikiki

我后来在想：
如果这个表达式无法进行积分运算，
可否证明这个表达式如若进行积分，就会导致失败？

jzkyllcjl

dodonaomikiki 发表于 2018-12-31 08:45
我后来在想：
如果这个表达式无法进行积分运算，
可否证明这个表达式如若进行积分，就会导致失败？

在积分区间上，这个积分表达式中的被积函数是单调连续函数。所以这个积分一定存在。 这个积分值是一个理想实数。 不过原函数可以不是初等函数， 这个积分值可以 像 椭圆积分那样 进行近似计算。 近似方法是数学理论的一个根本性计算方法。

dodonaomikiki

根据JZK老兄の提示，
画出积分表达式里面的函数图像~~~反正，看啦觉得也不简单！
估计：寻找他的原函数未必容易
【附注：e≈2.718我取了近似值】

dodonaomikiki

把纵轴进行压缩，
所求积分给与几何化、图形化，所求就应该是黄色区域的面积

jzkyllcjl

dodonaomikiki 发表于 2018-12-31 11:11
根据JZK老兄の提示，
画出积分表达式里面的函数图像~~~反正，看啦觉得也不简单！
估计：寻找他的原函数未 ...

第一，你的积分区间是【0，π/3】. 只考虑这个区间。近似计算要容易些。
第二，即使原函数是初等函数，例如 ln x,其函数值 也需要近似计算，实数π的十进小数表达式 也只能近似计算。所以，我认为： 近似方法是建立自然数、分数、实数的根本方法，也是建立微积分学的根本方法。 我提出的自然数定义是： 定义1：理想自然数（简称为自然数）是是忽略了现实集合中各个元素的质的差别与大小差别之后的、从现实集合研究中抽象出来的表达现实存在的集合的元素个数多少的符号（其中，比较特殊的是：0表示的是没有元素的理想性集合的元素个数）。
文献[2]与[13]在形式公理下，使用ZFC形式公理体系下的，空集存在及并集公理意义下叙述的自然数概念（文献[2]中提出了0:=Φ，1:={Φ}=0∪{0}，2:={0，1}=1∪{1}，……的自然数定义序列；文献[13]提出了称1是集合{Φ}的基数，2是集合{Φ，{Φ}}的基数，……）不仅没有讲到这种研究现实集合个数的实用意义，而且掩盖了这种实用意义。如果应用于生产实践时，不研究集合元素大小的差别与测量误差，那么就免不了失败。这说明：研究自然数理论必须知道它的实践性质与意义，不能抛开从实践中忽略大小差别的抽象的方法；不能忽略唯物辩证法的应用。克里（H.Curry）与鲁宾逊（A, Robinson）“把数学定义为关于形式系统的科学”的做法是不恰当的。康托儿提出“数学必须肯定实无限”，汪芳庭使用“实无限”这个名词提出“ω这个自然数集作为整体的无限集合是存在的”的方法去解释ZFC形式公理体系中“无穷集合存在公理”是有问题的，事实上，这个“实无限”名词的定语“实”字给人一个错觉，“好象这种解说是联系实践的，而Peano的说法不实在”。其实，自然数集合具有无法被人们构造完毕的性质；Peano的说法比ZFC形式公理的说法实在。关于理想自然数集合的应有意义在下文第三节将深入讨论。

dodonaomikiki

图形纠正一下，
应该是这样的：大图对小图，进行拉放大【纵轴进行拉长】
所求：就是黄色区域面积
【我取近似值： e=2.718】

dodonaomikiki

全局来看，
积分表达式里面的函数图像，应该是这样的

jzkyllcjl

dodonaomikiki 发表于 2018-12-31 13:00
全局来看，
积分表达式里面的函数图像，应该是这样的

第一，请考虑： π到2π 区间上的图像是不是为负值。
第二，你把积分值看作面积是好的，由此 可以提出积分值的近似计算方法。我提出 ln 2 的近似计算如下，请考虑。例六 （定积分值的近似计算问题） 根据前边讲到连续函数在积分区间[a,x ]的定积分值是与x对应的一个理想实数的讨论，可以知道：这个定积分可以使用对积分变量在积分区间上分割为足够小区间近似增量和式表达出来。事实上，根据连续函数的一致连续性，可知：对任意小误差界ε，可以求出足够小正数δ使得 长度小于δ的N个足够小区间上被积函数的函数值的差小于ε/N，从而使各小区间近似积分和满足误差界ε的要求。由此，可以得到定积分的近似计算方法。
例如：ln2的十进小数是什么呢？的问题就是如此：设误差界是1/10，采用积分表达式  ，将积分区间[1，2] 等分为十个小区间，则在每个小区间的左、右端点处被积函数分别取得这个小区间的最大值与最小值， 如果都取左端点处的函数值乘小区间长度1/10作为原函数增量，则得ln 2 的针对误差界1/10的过剩近似值：0.72，如果都取右端点处的函数值乘小区间长度1/10作为原函数增量，则得ln 2 的针对误差界1/10的不足近似值0.68。在误差界为1/10^n  的要求下，可将积分区间[1，2] 等分为 10^n个小区间，依照上述方法，就可得到满足这些误差界的不足与过剩近似值构成的区间套序列，因此可以逐步得出ln 2 的以十进小数为项的不足近似值数列表示的无尽小数表达式。进一步应当指出：前边的计算已经得到这个无穷数列性质的无尽小数在0.68与0.72之间，编程后使用电子计算机进行计算后可以得到更小的取值区间；根据这个区间长度无限减小的性质，可以逐步写出这个无尽小数的 小数后各位的数字，但需要知道：位数越大的数字越难计算。可以证明这个理想实数ln2 是无理数；这个无尽小数具有永远写不到底的无穷数列的性质。根据定积分数值的这个计算方法的说明，定积分数值也需要提出理想、近似与全能近似三个术语。参看ln2的上述计算，还可以利用1/x的定积分计算无理数lnπ与ln√2的值，但更无法算到绝对准确，绝对准只是一个理想实数。